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2019年最新-大一高数课件第二章2-8-1-精选文档

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第八节 微分在近似计算 中的应用 ? 一、计算函数增量的近似值 ? 二、计算函数的近似值 ? 三、小结 一、计算函数增量的近似值 ? 若 y ? f ( x ) 在点 x 处的导数 f ( x ) ? 0 , 则 0 0 ? ? y ? f ( x ) ? x ? o ( ? x ) 0 当 ? x 很小时, 得近似等式: ? ? f ( x ) ? x ? y ? f ( x ? ? x ) ? f ( x ) 0 0 0 例1 半径 10 厘米的金属圆片加热后 , 半径伸长了 0 . 05 厘米 , 问面积增大了多少 ? 解 设 A ?? r2, r ? 10 厘米 ,? r ? 0 . 05 厘米 . 2 ? 2 ? ? 10 ? 0 . 05 ??(厘米 ). ? ? A ? dA ? 2 r ? ? r ? 二、计算函数的近似值 1 . 求 f( x ) 在点 x ? x 附近的近似值 ; 0 ? ? f ( x ) ? ? x . ? y ? f ( x ? ? x ) ? f ( x ) 0 0 0 ? x很小时 ) f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? ? x . (? 0 0 0 令 x ? x ? ? x 0 ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x )( x ? x ) 0 0 0 ? )f ( x ) ,f ( x ) 好算 ; 2 )x 与 x . 使用原则: 1 0 0 0靠近 例 2 解 o ? 计算 cos 60 3 0 的近似值 . 设 f ( x ) ? cos x , ? ? f ( x ) ? ? sin x , ( x 为弧度 ) ? 1 ? 3 ? ? ? ? f ( ) ? , f ( ) ? ? . ? x x ? , 0? , ? 3 2 3 2 3 360 ? ? ? ? ? ? ? cos 60 3 0 ? cos( ? ) ? cos? sin? 3 360 3 3 360 o 1 3 ? ? ? ? ? 0 . 4924 . 2 2 360 2 . 求 f(x ) 在点 x ? 0 附近的近似值 ; 令 x ? 0 , ? x ? x . 0 ? ? f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? ? x , 0 0 0 ? ? f ( x ) ? f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? x . 常用近似公式: ( x 很小) ??1 ? ? x ( 1 )( 1 ? x ) 证明: 令 得 ? f( x )? ( 1 ? x ) f( 0 )? 1 , f? ( 0 )? ? ? ? 当x 很小时 , ( 1 ? x ) ? 1 ? ? x 常用近似公式 ( x 很小时 ) ?? ( 1 )( 1 ? x ) 1 ? ? x ; ( 2 )sin x ? x ( x 为弧 ); 度 x ( 3 )tan x ? x ( x 为弧 ); 度( 4 )e ? 1 ? x ; ( 5 )ln( 1 ? x )? x . 例2 计算下列各数的近似值 . ? 0 . 03 3 ( 1 ) 998 . 5 ; ( 2 ) e . 3 1 )3 998 . 5 ? 1000 ? 1 . 5 解 ( 1 .5 1 3 10 1 ? 0 . 0015 ? 1000 (1? )? ? 10 ( 1 ? ? 0 .0015 )? 9 . 995 . 3 1000 3 ? 0 . 03 ? 0 . 97 . ( 2 ) e ? 1 ? 0 . 03 三、小结 近似计算的基本公式 当 ? x很小时 , ? ? f ( x ) ? ? x . ? y ? dy 0 x ? x x ? x 0 0 ? f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? ? x , 0 0 0 ? 或 f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? x ), 0 0 0 ? ( x ) ? f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? x . 当 x? 0 时 , f 练 习 题 一、 填空题: 1、 利 用 公 式 f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ) 计 算 f ( x )时,要求______很小. 2、 当 x ? 0 时 , 由 公 式 ?y ? dy 可 近 似 计 算 由此得 ; ln( 1 ? x ) ? _______; tan x ? ________, ln 1.002 ? ________. 45 ?10? 时 45 ? 变 x 由 二 、利 用 微 分 计 算 当 到 , 函 数 1? ? 0.017453 y ? cosx的 增 量 的 近 似 值 ( 弧 度 ). , 三 、已 知 单 摆 的 振 动 周 期 T ? 2? l g ? 980 , 其 中 厘 g l 为 米 /秒2, 摆 长 ( 单 位 为 厘 米 ) , 设 原 摆 长 为20 T增 厘 米 , 为 使 周 期 大 0.05 秒 , 摆 长 约 需 加 长 多 少 ? 四 、 求 近 似 值 : 3 996 tan 136 ? arcsin 0 . 5002 1 、 ; 2 、 ; 3 、 . 练习题答案 一、 1 、 x ? x 0 ; 2 、 x , x , 0.01309, 0.002 . 2 二、 ? ? ?0.0021 . 2160 三、约需加长 2.23 厘米 . o 四、 1 、 -0.96509 ; 2 、 30 47? ; 3 、 9.9867. 五、 1.9953. 六、 3%. 七、? ? ? 0.00056 ( 弧度 )=1? 55?? .


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