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【2019年整理】8-4-1多元复合函数求导

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第四节 多元复合函数的求导法则 一元复合函数 本节内容: 求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则 第八章 微分法则 二、多元复合函数的全微分形式不变性 一、链式法则 定理 如 果 函 数 u ? ? (t ) 及 v ? ? (t ) 都 在 点 t 可 导 , 函 数 z ? f ( u, v ) 在 对 应 点 ( u, v ) 具 有 连 续 偏 导 数 , 则 复 合 函 数 z ? f [? ( t ),? ( t )]在对应点 t 可导,且其导数可用下列公式计算: dz ?z du ?z dv ? ? . dt ?u dt ?v dt 证 设 t 获得增量 ?t, 则 ?u ? ? (t ? ?t ) ? ? (t ), ?v ? ? ( t ? ?t ) ? ? ( t ); 由于函数 z ? f ( u, v )在点( u, v ) 有连续偏导数 ?z ?z ?z ? ?u ? ?v ? ?( ? ), ?u ?v ? ? ( ?u)2 ? ( ?v )2 ? 0 当 ?u ? 0, ?v ? 0 时, ?z ?z ?u ?z ?v ? ( ? ) ? ? ? ? ? ?t ?u ?t ?v ?t ?t 当 ?t ? 0 时, ?u ? 0 , ?v ? 0 ?u du ? , ?t dt ?v dv ? , ?t dt z u t dz ?z ?z du ?z dv ? lim ? ? ? ? . dt ?t ?0 ?t ?u dt ?v dt v 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 z ? f ?? ( t ),? ( t ), ? ( t )? dz ?z du ?z dv ?z dw ? ? ? dt ?u dt ?v dt ?w dt z dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt u v w t 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况: z ? f [? ( x , y ),? ( x , y )]. 如果 u ? ? ( x, y)及 v ? ? ( x, y) 都在点( x, y )具有对 x 和 y 的偏导数, 且 函数 z ? f (u, v )在对应点 (u, v ) 具有连续偏导数,则复合函数 z ? f [? ( x, y ),? ( x, y )]在对应点 ( x, y ) 的两个偏导数存在,且可用下列 公式计算 ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ? v , . ? ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x ?y ?u ?y ?v ?y 链式法则如图示 u z x y ?z ? z ? u ? z ?v ? ? ? ? , ?x ? u ? x ? v ? x ?z ? z ? u ? z ? v ? ? ? ? . ?y ? u ? y ? v ? y v 类似地再推广,设 u ? ? ( x , y )、 v ? ? ( x, y ) 、 w ? w( x , y )都在点 ( x , y )具有对 x 和 y 的偏导数,复合函数 z ? f [? ( x, y ),? ( x, y ), w( x, y )] 在对应点 ( x , y )的两个偏导数存在,且可用下列公式计算 ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w , ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x ?w ?x ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w . ? ? ? ?y ?u ?y ?v ?y ?w ?y z u v x y w ?z 例 1 设 z ? e u sin v ,而 u ? xy , v ? x ? y , 求 ?z 和 . ?x ?y 解 ?z ?z ? u ?z ? v ? ? ? ? ?x ?u ? x ?v ? x u ? e u sin v ? y ? e u cos v ? 1 ? e ( y sin v ? cos v ), ?z ?z ?u ?z ? v ? ? ? ? ?y ?u ?y ?v ? y ? e u sin v ? x ? e u cos v ? 1 ? e u ( x sin v ? cos v ). 例 2 设 z ? uv ? sin t ,而u ? e t , v ? cos t ,求全导数 dz . dt 解 dz ?z du ?z dv ?z t ? ? ? ? ? ? ve ? u sin t ? cos t dt ?u dt ?v dt ?t ? e t cos t ? e t sin t ? cos t ? e t (cos t ? sin t ) ? cos t . 特殊地 z ? f (u, x, y ) 即 z ? f [? ( x, y), x, y], ?v ? 1, ?x ?w ? 0, ?x 其中 u ? ? ( x, y ) 令 v ? x, ?v ? 0, ?y w ? y, ?w ? 1. ?y ?z ?f ?u ?f ? ? ? , ?x ?u ?x ?x ?z ?f ?u ?f ? ? ? . ? y ? u ?y ? y 区 别 类 似 两者的区别 把 z ? f (u, x, y )中的 u 把复合函数 z ? f [? ( x, y), x, y]中的 y 看 及 y 看作不变而对 x 作不变而对 x 的偏导数 的偏导数 例 3 设 w ? f ( x ? y ? z , xyz ) ,f 具有二阶连续偏导数, 求 ?w ? 2 w 和 . ?x ? x ? z 解 令 u ? x ? y ? z, 记 v ? xyz; ?f ( u , v ) f1? ? , ?u ? 2 f ( u, v ) ?? ? f12 , ?u?v ?? . f 22 同理有 f 2?, ?? , f11 ?w


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