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安徽省滁州市定远县民族中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题理

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安徽省滁州市定远县民族中学 2019-2020 学年高二数学上学期期中试

题理

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.已知 m、n 是两条不同直线, ?、?、? 是三个不同平面,则下列正确的是(

)

A. 若 m / /?, n / /? ,则 m / /n B. 若? ? ?,? ? ? ,则? / /?

C. 若 m / /?, m / /? ,则? / /? D. 若 m ? ?, n ? ? ,则 m / /n

2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.

B.

C.

D.

3. 如 图 正 方 形 A1BCD 折 成 直 二 面 角 A? BD ?C , 则 二 面 角 A?CD ? B 的 余 弦 值 为





A. 1 3

B. 3 3

C. 1 2
-1-

D. 2 2
4.设?, ? 为两个不重合的平面, l, m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:

①若? / /? , l ? ? ,则 l / /? ;②若 m ? ? , n ? ? , m / /? , n / /? ,则? / /? ;③

若 l / /? , l ? ? ,则? ? ? ;④若 m ? ? , n ? ? ,且 l ? m , l ? n ,则 l ? ? .

其中正确命题的序号是( )

A. ①③

B. ①②③

C. ①③④

D.

②④

5.如下图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,E , F 分别为棱 AA1 、BB1 的中点,

G 为棱 A1 B1 上的一点,且 A1G ? ?(0 ? ? ? 1) 则点 G 到平面 D1 EF 的距离为(



A. 3

B. 5 5

C. 2 2

D. 2? 3

6.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年,其中有

这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”

其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深 1 寸,锯

道长 1 尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面

图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦 AB ?1尺,弓形高 CD ? 1寸,估算
该木材镶嵌在墙中的体积约为( )
(注:1 丈=10 尺=100 寸, ? ? 3.14 , sin22.5? ? 5 )
13

-2-

A. 633 立方寸

B. 620 立方寸

C. 610 立方寸

D. 600 立方寸

7.正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 2 AB ,则 AD1 与平面 BB1D1 所成角的正弦值为
()

A. 10 10

B. 3 10 10

C. 3 3

D. 6 3

8.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1B1 内(包

括边)的动点,且 A1F 平面 D1AE ,沿 A1F 运动,将 B1 点所在的几何体削去,则剩余几何

体的体积为(



A. 3 4
D. 11 12

B. 23 24

C. 7 8

9.在正方体 ABCDA?B?C?D? 中, P 为棱 AA? 上一动点, Q 为底面 ABCD 上一动点, M 是

PQ 的中点,若点 P,Q 都运动时,点 M 构成的点集是一个空间几何体,则这个几何体是





-3-

A. 棱 柱 D. 球的一部分

B. 棱 台

10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系

中的坐标分别是

视图时,按照如下图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为(

C. 棱 锥
绘制该四面体三 )

A.

B.

C.

D.

11.已知 m, n 为两条不同的直线, ?, ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的有(



(1) m ?? , n ?? , m / /? , n / /? ? ? / /? (2) n / /m , n ? ? ? m ? ?

(3)? / /? , m ?? , n ? ? ? m / /n

(4) m ?? , m ? n ? n / /?

A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个

12.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 在线段 B1D 上运动且不与 D , B1 重合,给出下列结
论:
① AC ? BP ;

② A1B ? 平面 PDA;

-4-

③二面角 A? PD ?C 的大小随 P 点的运动而变化;

④三棱锥 P ? ABC 在平面 BCC1B1 上的投影的面积与在平面 CDD1C1 上的投影的面积之比随

P 点的运动而变化;
其中正确的是( )

A. ① ③ ④

B. ① ③

C. ① ② ④

D. ①②

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.如图,已知 AB 为圆 O 的直径,C 为圆上一动点,

圆 O 所在平面,且 PA=AB=2,过

点 A 作平面 =

,交 PB,PC 分别于 E,F,当三棱锥 P-AEF 体积最大时, .

14.已知矩形

,沿对角线 将它折成三棱椎

,若三棱椎

外接

球的体积为

,则该矩形的面积最大值为

.

15. 如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1,点 P 是面 AA1D1D 的中心,点 Q 是面

A1B1C1D1的对角线 B1D1 上一点,且 PQ 平面 AA1B1B ,则线段 PQ 的长为__________.

-5-

16.三棱锥 P ? ABC 中, D, E 分别为 PB, PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体积为V1 , P ? ABC 的体积为V2 ,则V1 :V2 ? _________.
三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)如图的三个图中,左面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,右面是它
的正视图和侧视图(单位: cm ).
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的表面积.
18. ( 12 分 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 ABC ? A1B1C1 中 , 侧 棱 垂 直 于 底 面 , A B? B, C 1 A?A ?A2 C, ?B1 ,C分,别是E A1FC1, BC 的中点. (1)求证: 平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ; (2)求证: C1F 平面 ABE ; (3)求三棱锥 E ? ABC 体积.
19. (12 分)如图,正方体 ABCD ? A?B?C?D? 棱长为 a ,连接 A?C? , A?D , A?B , BD , BC? , C?D ,得到一个三棱锥,求:
-6-

(1)三棱锥 A? ? BC?D 的表面积与正方体表面积的比值; (2)三棱锥 A? ? BC?D 的体积.

20. (12 分)如图,在三棱柱

中,侧棱

底面

,且

, 是棱 的中点,点 在侧棱

上运动.

(1)当 是棱

的中点时,求证:

平面



(2)当直线 值.

与平面

所成的角的正切值为 时,求二面角

的余弦

21. ( 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , ABCD 是 正 方 形 , PD ? 平 面 A B C D. PD ? AB ? 2 , E , F , G 分别是 PC , PD , BC 的中点.

(1)求证:平面 PAB 平面 EFG .

(2)在线段 PB 上确定一点 Q ,使 PC ? 平面 ADQ ,并给出证明.

-7-

22. ( 12 分 ) 如 图 1 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AB / /CD, AB ? AD , 且 A B? A D?1 C D?1 .现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形
2 ADEF 翻折,使 ADEF 平面与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证: AM / / 平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面 BDE ; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.
-8-

参考答案

1.D 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.A

8.B

12.D

13.

14.

17.

15. 2 2

16.1: 4

9.A 10.B 11.C

18.(1)证明:在三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC,? BB1 ? AB . 又因为 AB ? BC,? AB ? 平面 B1BCC1 ,所以平面 ABE ? 平面 B1BCC1 . (2)证明:取 AB 的中点 G ,连接 EG, FG .

因为 E, F,G 分别是 A1C1, BC, AB 的中点,所以 FG AC ,



FG

?

1 2

AC,

EC1

?

1 2

A1C1.

AC

A1C1 ,且 AC ? A1C1,? FG

EC1 ,且 FG ? EC1 ,

所以四边形 FGEC1 为平形四边形,所以 C1F EG .

又因为 GE ? 平面 ABE, C1F ? 平面 ABE,?C1F 平面 ABE .

-9-

(3)因为 AA1 ? AC ? 2, BC ? 1, AB ? BC,? AB ? AC2 ? BC2 ? 3 .

所以三棱锥

E

?

ABC

的体积V

?

1 3

S?ABC

11 AA1 ? 3 ? 2 ?

3 ?1? 2 ?

3. 3

19.(1) 3 : 3 ;(2) 1 a3 3

解:(1)正方体 ABCD ? A?B?C?D? 的棱长为 a ,则三棱锥 A? ? BC?D的棱长为 2a ,表面积

? ? 为 4? 3 ?

2
2a ? 2 3a2 ,正方体表面积为 6a2 ,∴三棱锥 A? ? BC?D 的表面积与正方体

4

表面积的比值为 3 : 3

(2)三棱锥 A? ? BC?D 的体积为 a3 ? 4? 1 ? 1 a3 ? 1 a3 32 3

20. 解:(1)取线段

的中点 ,连结

.



,∴

,且

.

又为

的中点,∴

,且

.



,且

.∴四边形

是平行四边形.∴

.



平面

平面

,∴

平面

.

(2)解:∵

两两垂直,∴以 为原点,

所在直线分别为 轴,

轴, 轴,建立空间直角坐标系

,如图,

∵三棱柱 所成的角.

中,

平面

,∴



,则由

,得

.

即为直线

与平面

- 10 -

∴ 设平面

, 的一个法向量为

.∴ ,





,得

,即

.又平面

的一个法向量为

,∴

,

又二面角

的平面角为钝角,∴二面角

的余弦值为

.

21.解:(1)∵ PCD 中, E , F 分别是 PC , PD 的中点,∴ EF CD ,又∵四边形 ABCD
为正方形,得 AB CD ,∴ EF AB ,∵ EF ? 平面 PAB , AB ? 面 PAB ,∴ EF 面
PAB .同理 EG 面 PAB ,∵ EF , EG 是面 EFG 内相交直线,∴平面 PAB 平面
EFG . Q 为 PB 中点时, PC ? 面 ADQ .
(2) Q 为线段 PB 中点时, PC ? 平面 ADQ ,证明:取 PB 中点 Q ,连接 DE , EQ ,
AQ ,∵ EQ BC AD ,且 AD Q?E ,∴四边形 ADEQ 为梯形,由 PD ? 面 ABCD , AD ? 面 ABCD,得 AD ?PD ,∵ AB ? CD , PD ?CD ? D ,∴ AD ? 面 PDC ,又 PC ? 面 PDC ,∴ AD ? PC .∵ PDC 为等腰直角三角形, E 为斜边中点,∴ DE ? PC ,∵ AD , DE 是面 ADQ 内的相交直线,∴ PC ? 面 ADQ .
22.解: (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN, BN .
在 ?EDC 中, M , N 分别为 EC, ED 的中点, 所以 MN / /CD ,且 MN ? 1 CD .
2 由已知 AB / /CD, AB ? 1 CD ,
2 所以四边形 ABNM 为平行四边形.
- 11 -

所以 BN / / AM . 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC , 所以 AM / / 平面 BEC . (2)证明:在正方形 ADEF 中, ED ? AD , 又因为平面 ADEF ?平面 ABCD ,且平面 ADEFI 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD. 所以 ED ? BC
在直角梯形 ABCD中, AB ? AD ?1,CD ? 2 ,可得 BC ? 2 .

在 ?BCD 中, BD ? BC ? 2,CD ? 2,BD2 ? BC2 ? CD2 .

所以 BC ? BD .

所以 BC ? 平面 BDE .

(3)由(2)知, BC ? BE, BC ? BD

所以

S?BCD

?

1 2

BD

?

BC

?

1 2

?

2?

2 ? 1,又因为 ED ? 平面 ABCD

又 VE ? BCD

? VD?BCE

?

1 3

S?BCD

? DE

?

1. 3

所以, D 到面 BEC 的距离为 6 3

- 12 -



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