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安徽省滁州市明光中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文

发布时间:

安徽省明光中学 2018-2019 学年第二学期期中考试

高二数学(文科)试卷

满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题:(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合
要求的)

? ? 1.已知集合 A ? x x2 ?16 ? 0 , B ? ??5,0,1? ,则(



A. A B ? ?

B. B ? A

C. A B ? ?0,1?

D. A ? B

2.已知 z ? a ? 3i ( a ? 0 )且 z ? 2 ,则 z ? ( )

A. 1? 3i

B.1? 3i C. 2 ? 3i

D. 3 ? 3i

3.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关,于是随机抽取 11000 名成年人调查是否抽烟 及是否患有肺病得到 2? 2 列联表,经计算得 K2 ? 5.231 ,已知在假设吸烟与患肺病无关的前

? ? ? ? 提条件下, P K2 ? 3.841 =0.05, P K2 ? 6.635 ? 0.01 ,则该研究所可以(



A.有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B.有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无

关”

C.有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D.有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无

关”

4.已知

sin ? ? cos ? ?

2 ,则sin 2? ?(
4



A. 1 8

B. - 1 8

C. 7 8

D. - 7 8

5.已知 p : ?x ? R ,x2 ? x ?1 ? 0 ,q : ?x ??0, ??? ,sin x ?1,则下列命题为真命题的是(



A. p ? ?q

B. ?p ? q

C. p ? q

D. ?p ? ?q

6. 在如图的程序框图中,若函数f(x ) ?

??log1(?x )(x ?2

?

0)
则输出的结果是(

)

??2x(x ? 0)

A.16

B.8

C. 216

D. 2 8

5

正视图

侧视图

5

第 6 题图

俯视图

第 7 题图

7.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,书中有关于“堑堵”的记载,“堑堵”即底面是

直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后,剩下部分的三视图如图

所示,则剩下部分的体积是(

)

A. 50

B. 75

C. 25.5

D. 37.5

8.已知 a, b 是正数,且 a ? b ? 2 ,则 1 ? 4 的最小值为(



ab

A

9

2

B5 2

C3 2

D1

9.已知函数 f (x) ? sin2 ?x ? 3 sin ?x sin(?x ? ? ) (? ? 0 )的最小正周期为? ,则 f (x)
2

在区间

???0,

2? 3

? ??

上的值域为(



A.

????

1 2

,

3 2

? ??

B.

???0,

3 2

? ??

C.

????

1 2

,1???

D.

????

3 2

,

1 2

? ??

10.已知三棱锥 A? BCD 的四个顶点 A 、 B 、C 、 D 都在球 O 的表面上, BC ? CD , AC ? 平

面 BCD ,且 AC ? 2 2 , BC ? CD ? 2,则球 O 的表面积为(



A. 4?

B. 8?

C.16?

D. 2 2?

11.已知抛物线 C : y2 ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l ,过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点( A 在

第一象限),过点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 E ,若 ?AFE ? 60? ,则 △AFE 的面积为





A. 4 3

B. 2 3

C. 4 3 3

D. 2 3 3

12.已知定义域为

?1 ?? 3

, 3???

的函数

f

(x)

满足:当

x

?

?1 ?? 3

,1???

时,

f

(x)

?

2

f

(1) x

,且当

x ??1, 3?

时,

f

(x)

?

ln

x

,若在区间

? ??

1 3

,

3???

内,函数

g(x)

?

f

(x) ? ax 的图象与 x

轴有

3

个不同的

交点,则实数 a 的取值范围是( )

A. (0, 1) e

B. (0, 1 ) 2e

C.[ln 3 , 1) 3e

D.[ln 3 ,1) 3

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.在四边形 ABCD 中, AC ? ?2, 4? , BD ? ??2,1? ,则该四边形的面积为



?x ? y ?1? 0

14.已知

x



y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

0

,则 z ? x ? 2y 的最大值为



??x ? 0

15.函数 f ? x? ? x ? sin x 在 x ? ? 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为



2

16.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 4 ? x2 有且只有一个交点,则 b 的取值范围是

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

? ? 17.(本题满分 10 分)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 3 .

? ? ? ? (1)求数列 an 的通项公式(2)求数列 nan 的前 n 项的和

18.(本题满分 12 分)在 △ABC 中, 2cos2A ? 3 ? 4cos A . (1)求角 A 的大小;(2)若 a ? 2 ,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) “累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它是

指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量,以克表示,根据

GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量(CCM)有如下等级划

分:

累积净化量

?3,5?

(克)

?5,8?

?8,12?

12 以上

等级

P1

P2

P3

P4

为了了解一批空气净化器(共 2000 台)的质量,随机抽取 n 台机器作为样本进行估计,已 知这

n 台机器的累积净化量分布在区间 ?4,14?中,按照 ?4,6? , ?6,8? , ?8,10? , ?10,12? , ?12,14?

均匀分组,

其中累积净化量在 ?4,6? 的所有数据有: 4.5 , 4.6 ,5.2 , 5.3 ,5.7

和 5.9 ,并绘制了如下频率分布直方图: (1)求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值; (2)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2 的空气净化器有
多 少台?

(3)从累积净化量在 ?4,6? 的样本中随机抽取 2 台,求恰好有 1 台等级为 P2 的概率.

20. (本题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2, BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.
(1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E-ABC 的体积.

21.

(本题满分

12

分)已知椭圆 M

:

x2 a2

?

y2 3

? 1? a

? 0? 的一个焦点为 F ??1,0? ,左

右顶点分别为 A , B ,经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C 、 D 两点.

(1)求椭圆方程;

(2)记 △ABD 与 △ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 S1 ? S2 的最大值.

22(本题满分 12 分).设函数 f ? x? ? 2ln x ? 1 .
x
(1)讨论函数 f ? x? 的单调性;
(2)如果对所有的 x ?1,都有 f ? x? ? ax ,求 a 的取值范围.

安徽省明光中学 2018-2019 学年第二学期期中考试 高二数学(文科)答案
一. 选择题 1---5 C A A C A 6—10 A D A B C 11—12 A C
二. 填空题

? ? ? ? 1
13 5 14 2 15
2

16

? 2,2 ? 2 2

三.解答题

? ? 17.(本题满分 10 分)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 3 .

? ? ? ? (1)求数列 an 的通项公式(2)求数列 nan 的前 n 项的和

17.解:(Ⅰ)由 Sn ? 2an ? 3 ,① 得 a1 ? 3 ,

Sn?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 2) ,②

① ? ②,得 an ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 ( n ? 2 , n ? N ),

所以数列?an? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列,

所以 an ? 3? 2n?1 ( n ? N *).

(Ⅱ)Tn ? 3(1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? …? n ? 2n?1) ,

2Tn ? 3(1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? …? n ? 2n ) ,

作差得 ?Tn ? 3(1? 20 ?1? 21 ?1? 22 ? …?1? 2n?1 ? n ? 2n ) ,

∴Tn ? 3(n ?1)2n ? 3 ( n ? N *).

18.(本题满分 12 分)在 △ABC 中, 2cos2A ? 3 ? 4cos A . (1)求角 A 的大小;(2)若 a ? 2 ,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

18.(1)因为 2cos2A ? 3 ? 4cos A ,所以 2cos2 A ? 1 ? 2cos A , 2

所以 4cos2 A ? 4cos A ?1 ? 0 ,所以 cos A ? 1 ,又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? ? .

2

3

(2)因为 a ? b ? c , A ? ? , a ? 2 ,

sin A sin B sin C

3

所以 b ? 4 ? sin B ,c ? 4 sin C ,所以 l ? 2 ? b ? c ? 2 ? 4 ?sin B ? sin C? ,因为 B ? C ? 2? ,

3

3

3

3

所以 l ? 2 ?

4 3

???sin

B

?

sin

? ??

?? 3

?

B

?? ????

?

2

?

sin

? ??

B

?

? 6

? ??

.

又因为 0

?

B

?

2? 3

,所以

1 2

?

sin

? ??

B

?

? 6

? ??

? 1,所以 l

? ? 4, 6?

.

19. (本题满分 12 分) “累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它

是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量,以克表示,根据

GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量(CCM)有如下等级划

分:

累积净化量 (克)

?3,5?

?5,8?

?8,12?

12 以上

等级

P1

P2

P3

P4

为了了解一批空气净化器(共 2000 台)的质量,随机抽取 n 台机器作为样本进行估计,已

知这

n 台机器的累积净化量分布在区间 ?4,14?中,按照 ?4,6? , ?6,8? , ?8,10? , ?10,12? ,?12,14?

均匀分组,

其中累积净化量在 ?4,6? 的所有数据有:4.5 ,4.6 ,5.2 ,5.3 ,5.7

和 5.9 ,并绘制了如下频率分布直方图:

(1)求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值; (2)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2 的空气净化器有 多
少台?
(3)从累积净化量在 ?4,6? 的样本中随机抽取 2 台,求恰好有 1 台等级为 P2 的概率.
19.(1)因为 ?4,6? 之间的数据一共有 6 个,
再由频率分布直方图可知:落在 ?4,6? 之间的频率为 0.03? 2 ? 0.06 . 因此: n ? 6 ?100 . ?0.03 ? x ? 0.12 ? 0.14 ? 0.15? ? 2 ? 1 ,∴ x ? 0.06 .
0.06
(2)由频率分布直方图可知:落在 ?6,8? 之间共: 0.12? 2?100 ? 24 台,
又因为在 ?5,6? 之间共 4 台,∴落在 ?5,8? 之间共 28 台.

故,这批空气净化器等级为 P2 的空气净化器共有 560 台. (3)设“恰好有 1 台等级为 P2“为事件 B ,
依题意,落在 ?4,6? 之间共有 6 台,记为: A1, A2 , A3, A4 , A5, A6 ,属于国标 P2 级有 4 台,
我们记为: A3, A4 , A5, A6 ,
则从 ?4,6? 中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 15 种,它们是:

? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, A4 ? , ? A1, A5 ? , ? A1, A6 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , A4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? ,

? A3, A4 ? , ? A3, A5 ? , ? A3, A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? ,

而事件 B 的结果有 8 种,它们是:? A1, A3 ? ,? A1, A4 ? ,? A1, A5 ? ,? A1, A6 ? ,? A2 , A3 ? ,? A2 , A4 ? ,

?

A2

,

A5

?



?

A2

,

A6

?

,因此事件

B

的概率为

P?B?

?

8 15

.

20. (本题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,

BC=1,E,F

分别是 A1C1,BC 的中点.

(1)求证:AB⊥平面 B1BCC1; 平面 ABE⊥平面 B1BCC1;

(2)求证:C1F∥平面 ABE;

(3)求三棱锥 E-ABC 的体积.

20.试题分析:(1)由 BB1 ? AB , AB ? BC 可证明 AB⊥B1BCC1,进而由面面垂直的判定定
理可得平面 ABE⊥平面 B1BCC1;(2)证明 C1F∥平面 ABE,只需证明四边形 FGEC1 为平行四边形,
可得 C1F∥EG;(3)利用 V = E-ABC 1 S△ABC?AA1,可求三棱锥 E-ABC 的体积 3
试题解析:(1)因为在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC ,所以 BB1 ? AB ,又因

为 AB ? BC ,所以 AB ?平面 B1BCC1 ,所以平面 ABE ? 平面 B1BCC1 。

......4 分

(2)取 AB 的中点 G ,连接 EG, FG

因为 E, F,G 分别是 A1C1 、BC 、AB 的中点,所以 FG∥AC ,且 FG

? 1AC 2

,EC1

?

1 2

A1C1



因为 FG∥A1C1 且 AC ? A1C1 ,所以 FG∥EC1 且 FG ? EC1 ,所以四边形 FGEC1 为平行四边

形,所以 C1F∥EG 。又因为 EG 在平面 ABE 上,且 C1F 不在平面 ABE 上,所以 C1F∥平 面 ABE 。 ......8 分 (3)因为 AA1 ? AC ? 2 , BC ? 1, BC ? AB ,所以 AB ? AC2 ? BC2 ? 3 ,所以三棱

锥 E ? ABC 的体积V

?

1 3

S?ABC

AA1

?

1 3

?

1 2

?

3 ?1? 2 ?

3。 3

......12 分

21.

(本题满分

12

分)已知椭圆 M

:

x2 a2

?

y2 3

? 1? a

? 0? 的一个焦点为 F ??1,0? ,左右顶点分别为

A , B ,经过点

F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C 、 D 两点.

(1)求椭圆方程;

(2)记 △ABD 与 △ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 S1 ? S2 的最大值.

21.(1)因为 F ??1,0? 为椭圆的焦点,所以 c ?1,又 b2 ? 3 ,

所以 a2 ? 4 ,所以椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 . 43

(2)当直线

l

无斜率时,直线方程为

x

?

?1,此时

D

? ??

?1,

3 2

? ??



C

? ??

?1,

?

3 2

? ??



△ABD , △ABC 面积相等, S1 ? S2 ? 0 ,

当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? k ? x ?1??k ? 0? ,设 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,

? ? ? x2

和椭圆方程联立得

? ?

4

?

y2 3

?1

,消掉

y得

3 ? 4k2

x2 ? 8k2x ? 4k2 ?12 ? 0 ,

?? y ? k ? x ? 1?

显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2

?

?

3

8k 2 ? 4k

2

, x1x2

?

4k 2 ?12 3 ? 4k 2



此时

S1 ? S2

?2

y2

?

y1

?2

y2

? y2

? 2 k ? x2 ?1? ? k ? x1 ?1?

? 2 k ? x2 ? x1 ? ? 2k

12 k ?
3 ? 4k2



因为 k ? 0 ,上式 ?

3 k

12 ?4 k

? 2

12 ? 12 ? 3 ? 4 k 2 12 k

3 ,( k ? ? 3 时等号成立), 2

所以 S1 ? S2 的最大值为 3 .
22(本题满分 12 分).设函数 f ? x? ? 2ln x ? 1 .
x
(1)讨论函数 f ? x? 的单调性;

(2)如果对所有的 x ?1,都有 f ? x? ? ax ,求 a 的取值范围. 21.解:(1) f ? x? 的定义域为

?0,??? ,



f

'?x?

?

2x ?1 x2

,当

0

?

x

?

1 2

时,

f

'?

x?

?

0

,当

x

?

1 2

时,

f

'?x?

?

0



所以函数

f

?

x?



? ??

0,

1 2

? ??

上单调递减,在

? ??

1 2

,

??

? ??

上单调递增.

(2)法一:设

g ? x?

?

2 ln

x?

1 x

? ax

,则

g '?x?

?

2 x

?

1 x2

?a

?

?

? ??

1 x

? 1??2 ?

?1?

a



因为

x

? 1 ,所以

?1 ?

?

? ??

1 x

? 1??2 ?

?

0.

(i)当 a ?1时,1? a ? 0 , g '? x? ? 0 ,所以 g ? x? 在?1, ??? 上单调递减,而 g ?1? ? 1? a ? 0 ,

所以对所有的 x ?1, g ? x? ? 0 ,即 f ? x? ? ax ;

(ii)当

0

?

a

?1

时,

0

?1?

a

?

1,若

x

?

? ???1,

1

?

1 a

?

a

? ???

,则

g

'?

x?

?

0



g

?

x

?

单调递增,



g

?1?

?

1

?

a

?

0

,所以当

x

?

? ???1,

1

?

1? a

a

? ???

时,

g

?x?

?

0

,即

f

?

x?

?

ax



(iii)当 a ? 0 时,1? a ?1, g '? x? ? 0 ,所以 g ? x? 在?1, ??? 单调递增,而 g ?1? ? 1? a ? 0 ,

所以对所有的 x ?1, g ? x? ? 0 ,即 f ? x? ? ax ;

综上, a 的取值范围是 ?1, ??? .

法二:当

x

? 1 时,

f

?x?

?

ax

?

a

?

2 ln x

x

?

1 x2



令 h?x?

?

2ln x x

?

1 x2

?x

?1? ,则 h'? x?

?

2 ? 2ln x2

x

?

1 x3

?

2?x

?

x ln x3

x

?1?



令 m? x? ? x ? x ln x ?1? x ? 1? ,则 m'? x? ? ?ln x ,当 x ?1时, m '? x? ? 0 ,

于是 m? x? 在 ?1, ??? 上为减函数,从而 m? x? ? m?1? ? 0 ,因此 h'? x? ? 0 ,

于是 h? x? 在 ?1, ??? 上为减函数,所以当 x ?1时 h? x? 有最大值 h ?1? ? 1 , 故 a ?1,即 a 的取值范围是 ?1, ??? .



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