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2019-2020学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法教案新人教A版选修1.doc


2019-2020 学年高中数学第二章推理与证明 2.2.1 综合法与分析法教案新人教 A 版选修 1
1.教学目标: 知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法: 分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他 们的分析问题和解决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点:了解分析法和综合法的思考过程、特点 3.教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点 4.教具准备:与教材内容相关的资料。 5.教学设想:分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键, 是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方 法。 6.教学过程: 学生探究过程:证明的方法 (1) 、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中, 分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达 到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推 理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索 因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用 十分广泛。 (2) 、例 1.设 a、b 是两个正实数,且 a≠b,求证:a +b >a b+ab . 证明:(用分析法思路书写) 要证 a +b >a b+ab 成立, 只需证(a+b)(a -ab+b )>ab(a+b)成立, 即需证 a -ab+b >ab 成立。(∵a+b>0) 只需证 a -2ab+b >0 成立, 即需证(a-b) >0 成立。
2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2

而由已知条件可知,a≠b,有 a-b≠0,所以(a-b) >0 显然成立,由此 命题得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即 a2-2ab+b2>0 亦即 a2-ab+b2>ab 由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab 即 a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证 例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) .
2 4 2 2

2

证明:采用差值比较法:

3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2
2 4 2 4 2 3 = 3 ? 3x ? 3x ? 1 ? x ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x

= 2( x ? x ? x ? 1) = 2( x ? 1) ( x ? x ? 1)
4 3 2 2

1 3 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ]. 2 4 = 1 3 ? x ? 1, 从而 ( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4 1 3 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ] ? 0, 2 4 2 2 2 4 ∴ ∴ 3(1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) .
a b b a 例 3、已知 a, b ? R , 求证 a b ? a b .

?

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a , b 对称,不妨设

a ? b ? 0.

?a ? b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b (a a ?b ? b a ?b ) ? 0 ,从而原不等式得证。
2)商值比较法:设 a ? b ? 0,

?

a abb a a ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. b b a b 故原不等式得证。

注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明

不等式的步骤是:作差(或作商) 、变形、判断符号。



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