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山东省冠县武训高级中学高考数学 第五章5.2 平面向量基本定理及坐标表示复习名师课件

发布时间:

数学 R A(理)
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理

难点正本 疑点清源

1.平面向量基本定理

1.基底的不唯一性

如果 e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于这一平面内的任意向 量 a, 有且只有 一对实数 λ1,λ2,使 a= a=λ1e1+λ2e2 .

只要两个向量不共线,就 可以作为平面的一组基 底,对基底的选取不唯 一,平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组

其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这 一平面内所有向量的一组 基底 .

基底 e1,e2 线性表示,且 在基底确定后,这样的表 示是唯一的.

基础知识·自主学习

要点梳理

难点正本 疑点清源

2.平面向量的坐标运算

1.基底的不唯一性

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量 只要两个向量不共线,就

的模
设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= (x1+x2,y1+y2) , a-b= (x1-x2,y1-y2) , λa= (λx1,λy1) ,|a|= x12+y21 .
(2)向量坐标的求法

可以作为平面的一组基 底,对基底的选取不唯 一,平面内任意向量 a 都 可被这个平面的一组基 底 e1,e2 线性表示,且在 基底确定后,这样的表示 是唯一的.

①若向量的起点是坐标原点,则终点坐

标即为向量的坐标.

基础知识·自主学习

要点梳理

难点正本 疑点清源

②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则A→B = (x2-x1,y2-y1) ,|A→B|=
?x2-x1?2+?y2-y1?2.
3.平面向量共线的坐标表示
设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其 中 b≠0.a∥b? x1y2-x2y1=0 .

2.向量坐标与点的坐标的区别
在平面直角坐标系中,以原点为 起点的向量O→A=a,点 A 的位置 被向量 a 唯一确定,此时点 A 的 坐标与 a 的坐标统一为(x,y),但 应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a=O→A=(x,y).











→ OA











→ O1A1

时,向量不变即O→1A1=O→A=(x,

y),但O→1A1的起点 O1 和终点 A1

的坐标都发生了变化.

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
4 3 (-3,-5)
0
B
B

解析

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量基本定理的应用

【例 1】 已知点 G 为△ABC 思维启迪

解析

探究提高

的重心,过 G 作直线与

AB、AC 两边分别交于 M、 N 两点,且A→M=xA→B,A→N =yA→C,求1x+1y的值.

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量基本定理的应用

【例 1】 已知点 G 为△ABC 思维启迪

解析

探究提高

的重心,过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、 N 两点,且A→M=xA→B,A→N =yA→C,求1x+1y的值.

以A→B,A→C为基底来表示向量,建 立 x,y 的关系.

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量基本定理的应用

【例 1】 已知点 G 为△ABC 思维启迪

解析

探究提高

的重心,过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、 N 两点,且A→M=xA→B,A→N =yA→C,求1x+1y的值.

解 根据题意知 G 为三角形的重心, 故A→G=13(A→B+A→C), M→G=A→G-A→M=13(A→B+A→C)-xA→B =G→N???13=-A→xN???A→-BA+→G13=A→CyA,→C-A→G

=yA→C-13(A→B+A→C) =由于???y-M→G13???与A→CG→-N共13A→线B,,根据共线向量定理知

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量基本定理的应用

【例 1】 已知点 G 为△ABC 思维启迪

解析

探究提高

的重心,过 G 作直线与 M→G=λG→N????13-x???A→B+13A→C

AB、AC 两边分别交于 M、 N 两点,且A→M=xA→B,A→N

=λ???????y-13???A→C-13A→B????, ∵A→B,A→C不共线,

=yA→C,求1x+1y的值.

∴?????1313- =xλ???=y--1313???λ

?13--13x=y-13 13

?x+y-3xy=0, 两边同除以 xy 得1x+1y=3.

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量基本定理的应用

【例 1】 已知点 G 为△ABC 思维启迪

解析

探究提高

的重心,过 G 作直线与 利用基底表示未知向量,实质就是

AB、AC 两边分别交于 M、 利用向量的加、减法及数乘进行线 N 两点,且A→M=xA→B,A→N 性运算;向量的表示是向量应用的

=yA→C,求1x+1y的值.

前提.

题型分类·深度剖析

变式训练 1 如图,在△ABC 中,A→N=13N→C,P 是 BN 上的 一点,若A→P=mA→B+121A→C,
3 则实数 m 的值为___1_1____.

解析 设|B→P|=y,|P→N|=x, 则A→P=A→N+N→P=14A→C-x+x yB→N, A→P=A→B+B→P=A→B+x+y yB→N,

① ②

①×y+②×x 得A→P=x+x yA→B+4?x+y y?A→C,

令4?x+y y?=121,得 y=83x,代入得 m=131.

题型分类·深度剖析

题型二

向量坐标的基本运算

【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1), C(-3,-4).设A→B=a,B→C=b,C→A =c,且C→M=3c,C→N=-2b,
(1)求 3a+b-3c;
(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (3)求 M、N 的坐标及向量M→N的坐标.

解析

探究提高

题型分类·深度剖析

题型二

向量坐标的基本运算

【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1), 解 析

探究提高

C(-3,-4).设A→B=a,B→C=b,C→A =c,且C→M=3c,C→N=-2b,

解 由已知得 a=(5,-5),b= (-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+

(1)求 3a+b-3c;

(-6,-3)-3(1,8)

(2)求满足

a=mb+nc

的实数

m,n;

=(15-6-3,-15-3-24) =(6,-42).

(3)求 M、N 的坐标及向量M→N的坐标. (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

∴?????- -63mm+ +n8= n=5, -5, 解得?????mn==--11.,

题型分类·深度剖析

题型二

向量坐标的基本运算

【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1), 解 析

探究提高

C(-3,-4).设A→B=a,B→C=b,C→A (3)设 O 为坐标原点,

=c,且C→M=3c,C→N=-2b,

∵C→M=O→M-O→C=3c,

(1)求 3a+b-3c;

∴O→M=3c+O→C=(3,24)+(-3,

(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; -4)=(0,20). (3)求 M、N 的坐标及向量M→N的坐标. ∴M(0,20).又∵C→N=O→N-O→C=
-2b,
∴O→N=-2b+O→C=(12,6)+
(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2).∴M→N=(9,-18).

题型分类·深度剖析

题型二

向量坐标的基本运算

【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1), 解 析

探究提高

C(-3,-4).设A→B=a,B→C=b,C→A 向量的坐标运算主要是利用加、

=c,且C→M=3c,C→N=-2b,

减、数乘运算法则进行.若已知

(1)求 3a+b-3c;

有向线段两端点的坐标,则应先

(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; 求出向量的坐标,解题过程中要 (3)求 M、N 的坐标及向量M→N的坐标. 注意方程思想的运用及正确使用
运算法则.

题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知平行四边形的三个顶点分别是 A(4,2),B(5,7),C(-3,4),
则第四个顶点 D 的坐标是_(_-__4_,__-__1_)_或__(_1_2_,_5_)或__(_-__2_,_9_)__.
解 若平 析行四设边顶形点为D(Ax,BCyD).,则由A→B=(1,5), D若→C平=行(-四3边-形x,4为-Ay)C,BD得,?????- 4则-3由- y=A→xC= 5,=1,(-7所,2)以,?????xy==--41,; D若→B平=行(5四-边x,7形-为y),AB得D?????C57,--则xy==由-2A,→7B,=(1所,5以),?????xy= =152;, C→D=(x+3,y-4),得?????xy+ -34= =15, , 所以?????xy==-9. 2, 综上所述,第四个顶点 D 的坐标为(-4,-1)或(12,5)或(-2,9).

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量的坐标表示

【例 3】 平面内给定三个向量 a 思维启迪 解析 探究提高 =(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 请解答下列问题:

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且 |d-c|= 5,求 d.

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量的坐标表示

【例 3】 平面内给定三个向量 a 思维启迪 解析 探究提高

=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), (1)向量相等对应坐标相等,列方程

请解答下列问题:

解之.

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 (2)由两向量平行的条件列方程解之.

m,n;

(3)设出 d=(x,y),由平行关系列

(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; 方程,由模为 5列方程,联立方程

(3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且 组求解. |d-c|= 5,求 d.

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量的坐标表示

【例 3】 平面内给定三个向量 a 思维启迪 解析 探究提高

=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 解 (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+

请解答下列问题:

n(4,1),

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n;

所以?????-2mm++n4=n=2 3 ,得?????mn==8959

.

(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)a+kc=(3+4k,2+k),

(3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且 2b-a=(-5,2),

|d-c|= 5,求 d.

∵(a+kc)∥(2b-a),

∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0, ∴k=-1163.

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量的坐标表示

【例 3】 平面内给定三个向量 a 思维启迪 解析 探究提高

=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), (3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,

请解答下列问题:

y-1),a+b=(2,4),

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n;

由题意得?????4?x?-x-44?2?+-?2y?-y-1?12=?=50 ,

(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且

解得?????xy==3-1

或????? xy==53



|d-c|= 5,求 d.

∴d=(3,-1)或 d=(5,3).

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量的坐标表示

【例 3】 平面内给定三个向量 a 思维启迪 解析 探究提高

=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), (1)运用向量的坐标表示,使向量的

请解答下列问题:

运算完全代数化,将数与形有机的

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 结合.

m,n;

(2)根据平行的条件建立方程求参数,

(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; 是解决这类题目的常用方法,充分体现

(3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且 了方程思想在向量中的应用. |d-c|= 5,求 d.

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (2011·北京)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k,
3).若(a-2b)与 c 共线,则 k=____1____.
解析 a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3), 又∵(a-2b)与 c 共线,∴(a-2b)∥c, ∴ 3× 3-3×k=0,解得 k=1.

题型分类·深度剖析

易错警示

6.忽视平面向量基本定理的使用条件致误

典例:(12 分)已知O→A=a,O→B=b,O→C=c,O→D=d,O→E=e,设 t∈R,如

果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上?

易错分析

规范解答

温馨提醒

题型分类·深度剖析

易错警示

6.忽视平面向量基本定理的使用条件致误

典例:(12 分)已知O→A=a,O→B=b,O→C=c,O→D=d,O→E=e,设 t∈R,如

果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上?

易错分析

规范解答

温馨提醒

本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决,但在得出等式后根据 平面向量基本定理列式解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条 件,出现漏解,漏掉了当 a,b 共线时,t 可为任意实数这个解.

题型分类·深度剖析

易错警示

6.忽视平面向量基本定理的使用条件致误

典例:(12 分)已知O→A=a,O→B=b,O→C=c,O→D=d,O→E=e,设 t∈R,如

果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上?

易错分析

规范解答

温馨提醒

解 由题设,知C→D=d-c=2b-3a,C→E=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E

三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k,使得C→E=kC→D,即(t-3)a

+tb=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

4分

①若 a,b 共线,则 t 可为任意实数;

7分

②若 a,b 不共线,则有?????t2-k-3+t=30k=,0, 解之得 t=65.

10分

综上,可知 a,b 共线时,t 可为任意实数;

a,b 不共线时,t=65.

12分

题型分类·深度剖析

易错警示

6.忽视平面向量基本定理的使用条件致误

典例:(12 分)已知O→A=a,O→B=b,O→C=c,O→D=d,O→E=e,设 t∈R,如

果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上?

易错分析

规范解答

温馨提醒

平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石,在解题中有至关重要 的作用,在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件.

思想方法·感悟提高

1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行

四边形法则,将向量进行分解.

方 2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中



坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将



一些几何问题转化为代数问题处理,从而向量可





以解决平面解析几何中的许多相关问题.

3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和

数形结合思想的运用.

思想方法·感悟提高

1.要区分点的坐标和向量坐标的不同,向量的坐标等

于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标;向





量坐标中既有大小的信息,又有方向的信息.

与 防 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不



能表示成xx12=yy12,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应

表示为 x1y2-x2y1=0.

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.与向量 a=(12,5)平行的单位向量为

()

A.???1123,-153 ???

B.???-1123,-153???

C.???1123,153???或???-1123,-153???

D.???±1123,±153 ???

解析

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.与向量 a=(12,5)平行的单位向量为

A.???1123,-153 ???

B.???-1123,-153???

C.???1123,153???或???-1123,-153???

D.???±1123,±153 ???

解析

(C )

设 e 为所求的单位向量,

则 e=±|aa|=±???1123,153???.

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,O→P=

xO→A+yO→B,且B→P=2P→A,则

()

A.x=23,y=13

B.x=13,y=23

C.x=14,y=34

D.x=34,y=14

解析

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,O→P=

xO→A+yO→B,且B→P=2P→A,则

(A )

A.x=23,y=13

B.x=13,y=23

C.x=14,y=34

D.x=34,y=14

解析

由题意知O→P=O→B+B→P,又B→P=2P→A,所以O→P=O→B+ 23B→A=O→B+23(O→A-O→B)=23O→A+13O→B,所以 x=23,y=13.

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于

()

A.-12a+32b
解析

B.12a-32b C.-32a-12b

D.-32a+12b

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于

(B )

A.-12a+32b
解析

B.12a-32b C.-32a-12b

D.-32a+12b

设 c=λa+μb,

∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),

∴?????- 2=1= λ-λ+ μ μ ,∴?????λμ==12-32

,∴c=12a-32b.

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

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5

6

7

8

9

4.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且B→P=2P→C,点 Q 是 AC 的中

点,若P→A=(4,3),P→Q=(1,5),则B→C等于

()

A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21)

解析

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且B→P=2P→C,点 Q 是 AC 的中

点,若P→A=(4,3),P→Q=(1,5),则B→C等于

(B )

A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21)

解析

B→C=3P→C=3(2P→Q-P→A)=6P→Q-3P→A

=(6,30)-(12,9)=(-6,21).

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

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6

7

8

9

5.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则1a+1b的值为____.
解析

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 5.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则1a+1b的值为__2__.
解析
A→B=(a-2,-2),A→C=(-2,b-2),

依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,

即 ab-2a-2b=0,所以1a+1b=12.

练出高分

A组 专项基础训练

1

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5

6

7

8

9

6.已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u∥v,则 实数 x 的值为________.
解析

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6.已知向量 a=(1,2),1 b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u∥v,则 实数 x 的值为____2____.
解析
因为 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以 u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),
v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3),
又因为 u∥v,所以 3(2x+1)-4(2-x)=0, 即 10x=5,解得 x=12.

练出高分

A组 专项基础训练

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8

9

7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足O→C= 23O→A+13O→B,则|A→→C|=________. |AB|
解析

练出高分

A组 专项基础训练

1

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7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足O→C= 23O→A+13O→B,则|A→→C|=____13____. |AB|
解析
∵O→C=23O→A+13O→B, ∴O→C-O→A=-13O→A+13O→B=13(O→B-O→A), ∴A→C=13A→B,∴|A→ →C|=13.
|AB|

练出高分

A组 专项基础训练

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9

8.(10 分)已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b

与 a-3b 共线,且方向相反?
解析

练出高分

A组 专项基础训练

1

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3

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7

8

9

8.(10 分)已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b

与 a-3b 共线,且方向相反?
解析

解 若存在实数 k, 则 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2).
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
若向量 ka+b 与向量 a-3b 共线,则必有(k-3)×(-4)-(2k+ 2)×10=0,解得 k=-13. 这时 ka+b=???-130,43???,所以 ka+b=-13(a-3b). 即两个向量恰好方向相反,故题设的实数 k 存在.

练出高分

A组 专项基础训练

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8

9

9.(12 分)如图所示, M 是△ABC 内一点,且满足 条件A→M+2B→M+3C→M=0,延长 CM 交 AB 于

N,令C→M=a,试用 a 表示C→N.

解析

练出高分

A组 专项基础训练

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9.(12 分)如图所示, M 是△ABC 内一点,且满足 条件A→M+2B→M+3C→M=0,延长 CM 交 AB 于

N,令C→M=a,试用 a 表示C→N.

解析
解 因为A→M=A→N+N→M,B→M=B→N+N→M, 所以由A→M+2B→M+3C→M=0,得 (A→N+N→M)+2(B→N+N→M)+3C→M=0, 所以A→N+3N→M+2B→N+3C→M=0.
又因为 A,N,B 三点共线,C,M,N 三点共线, 由平面向量基本定理,设A→N=λB→N,C→M=μN→M,

练出高分

A组 专项基础训练

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9.(12 分)如图所示, M 是△ABC 内一点,且满足 条件A→M+2B→M+3C→M=0,延长 CM 交 AB 于

N,令C→M=a,试用 a 表示C→N.

解析
所以 λB→N+3N→M+2B→N+3μN→M=0. 所以(λ+2) B→N+(3+3μ) N→M=0. 由于B→N和N→M不共线,由平面向量基本定理,
得?????λ3++23=μ=0,0, 所以?????λμ==--21,. 所以C→M=-N→M=M→N,C→N=C→M+M→N=2C→M=2a.

练出高分

B组 专项能力提升

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B组 专项能力提升

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1.若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180°,且|b|=3 5,

则 b 等于

()

A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)

解析

练出高分

B组 专项能力提升

1

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7

1.若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180°,且|b|=3 5,

则 b 等于

()

A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)

解析

?? x2+y2=3 5,

方法一

设 b=(x,y),由已知条件? ??

5 x-x22+y y2=-1,

整理得?????xx2-+2yy2==-451,5.

解得?????xy= =- 6,3,

∴b=(-3,6). 方法二 设 b=(x,y),由已知条件?????y+x22+x=y2=0,3 5,

练出高分

B组 专项能力提升

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7

1.若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180°,且|b|=3 5,

则 b 等于

(A )

A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)

解析

解得?????xy==6-,3, 或?????xy==-3,6, (舍去),∴b=(-3,6).

方法三

∵|a|=

5,∴|a1|a=????

1 ,- 5

25????,

则 b=-3 5???|a1|a???=(-3,6).

练出高分

B组 专项能力提升

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2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b 等于( )

A.(-2,-4)

B.(-3,-6)

C.(-4,-8)

D.(-5,-10)

解析

练出高分

B组 专项能力提升

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7

2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b 等于( C )

A.(-2,-4)

B.(-3,-6)

C.(-4,-8)

D.(-5,-10)

解析

由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,得 1×m=2×(-2)?
m=-4,从而 b=(-2,-4),那么 2a+3b=2(1,2)+ 3(-2,-4)=(-4,-8).

练出高分

B组 专项能力提升

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3.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|=

2 2,且∠AOC=π4,设O→C= λO→A+O→B(λ∈R),则 λ 的值为(

)

1

1

2

A.1

B.3

C.2

D.3

解析

练出高分

B组 专项能力提升

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7

3.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|=
2 2,且∠AOC=π4,设O→C= λO→A+O→B(λ∈R),则 λ 的值为( D )

1

1

2

A.1

B.3

C.2

D.3

解析

过 C 作 CE⊥x 轴于点 E(图略). 由∠AOC=π4,知|OE|=|CE|=2, 所以O→C=O→E+O→B=λO→A+O→B,
即O→E=λO→A, 所以(-2,0)=λ(-3,0),故 λ=23.

练出高分

B组 专项能力提升

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4.△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p=(a
+c,b),q=(b-a,c-a),且 p∥q,则角 C=________. 解析

练出高分

B组 专项能力提升

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4.△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p=(a
+c,b),q=(b-a,c-a),且 p∥q,则角 C=___6_0_°___. 解析

因为 p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,

所以 a2+b2-c2=ab,a2+2ba2b-c2=12, 结合余弦定理知,cos C=12, 又 0°<C<180°,∴C=60°.

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B组 专项能力提升

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5.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y=12ax 与线段 AB 交于 C,且A→C= 2C→B,则实数 a=________.

解析

练出高分

B组 专项能力提升

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5.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y=12ax 与线段 AB 交于 C,且A→C=

2C→B,则实数 a=____2____.

解析
设 C(x,y),则A→C=(x-7,y-1),C→B=(1-x,4-y),

∵A→C=2C→B,∴?????xy--71==22??14--xy?? ,解得?????xy= =33 .
∴C(3,3).又∵C 在直线 y=12ax 上, ∴3=12a·3,∴a=2.

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B组 专项能力提升

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6.设O→A=(1,-2),O→B=(a,-1),O→C=(-b,0),a>0,b>0,O

为坐标原点,若 A、B、C 三点共线,则1a+2b的最小值是_____.
解析

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B组 专项能力提升

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6.设O→A=(1,-2),O→B=(a,-1),O→C=(-b,0),a>0,b>0,O

为坐解标原析点,若据A已、知B、得CA→三B∥点A→共C线,,则1a+2b的最小值是__8___.
又∵A→B=(a-1,1),A→C=(-b-1,2),
∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1, ∴1a+2b=2a+ a b+4a+b 2b
=4+ba+4ba≥4+2 ba·4ba=8, 当且仅当ba=4ba,即 a=14,b=12时取等号, ∴1a+2b的最小值是 8.

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B组 专项能力提升

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7.(13 分)已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),O→M=t1O→A+t2A→B.

(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件;

解析

练出高分

B组 专项能力提升

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7.(13 分)已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),O→M=t1O→A+t2A→B.

(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件;

解析

(1)解 O→M=t1O→A+t2A→B=t1(0,2)+t2(4,4)

=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时,有?????42tt21<+04,t2≠0,

故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0.

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B组 专项能力提升

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7.(13 分)已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),O→M=t1O→A+t2A→B.

(2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线;

解析

(2)证明 当 t1=1 时,由(1)知O→M=(4t2,4t2+2).

∵A→B=O→B-O→A=(4,4),

A→M=O→M-O→A=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2A→B,

∴A、B、M 三点共线.

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B组 专项能力提升

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7.(13 分)已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),O→M=t1O→A+t2A→B.

(3)若解t1=析a2,求(当3)O解→M⊥当A→Bt1= 且a△2 时AB,MO→的M面=积(4t为2,4t12+ 2 时2a2a).的值.

又A→B=(4,4),O→M⊥A→B,∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0,

∴t2=-14a2,故O→M=(-a2,a2). 又|A→B|=4 2,点 M 到直线 AB:x-y+2=0 的距离

d=|-a2-2a2+2|= 2|a2-1|.∵S△ABM=12, ∴12|AB|·d=12×4 2× 2|a2-1|=12,

解得 a=±2,故所求 a 的值为±2.



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