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2016-2017学年高中数学 第三章 三角恒等变形章末整合课件 北师大版必修4_图文


专题一

专题二

专题三

专题一 三角函数求值问题的三种常见形式 三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值,给值求值,给值 求角. 给角求值的关键是将问题转化为特殊角的三角函数值,给值求值的 关键是结合条件和结论中的角合理拆角、配角,给值求角的关键是 确定角的范围.

专题一

专题二

专题三

1.给角求值

例 1 试求 3tan 10°+4sin 10°的值.

分析:所求式中含有切函数和弦函数,应先切化弦通分,然后根据角之

间的关系求解.

解:原式=

3sin10 °+4sin10 °cos10 ° cos10 °

=

3sin10 °+2sin20 ° cos10 °

=

3sin (30°-20°)+2sin20 ° cos10 °

=

3sin30 °cos20 °- 3cos30 °sin20 °+2sin20 ° cos10 °

=

23cos20 °+12sin20 ° cos10 °

=

sin (60°+20°) cos10 °

=

sin80 cos10

°
°=1.

专题一

专题二

专题三

变式训练 1


4co

3tan70 °+1 s 2 70°-2sin70

°的值.

3sin70 °+cos70 °

解:4co

3tan70 °+1 s 2 70°-2sin70

°

=

cos70 °
2cos140 °sin70 °

=2cos124s0in°(7s0in°7+0 3°0c°os)70

°

=

2sin100 ° sin140 °cos140

°

=212ssiinn218000

° °

=

sin (41s8i0n°10+01°00°)=-4.

专题一

专题二

专题三

2.给值求值

例 2 已知 cos

-

2

=-35,sin

2

-

的值.

= 153,且π2<α<π,0<β<π2,求 cos(α+β)

分析:本题主要考查三角函数的给值求值,解题的关键是用整体代换

的思想,即 α+β=2

-

2

-

2

-

.

解:易知 α+β=2 - - - =2×+.

22

2

∵cos

-

2

=-35,且π2<α<π,0<β<π2,

∴π <α- <π.

42

∴sin - = 1-cos2 -

2

2

= 1- - 3 2 = 4.

5

5

专题一

专题二

专题三

又 sin - = 5 ,-π < -β<π,

2

13 4 2 2

∴cos

2

-

=

1-sin2

2

-

= 1- 5 2 = 12.

13

13

∴cos

+ 2

=cos

-

2

-

2

-

=cos - cos - +sin - sin -

2

2

2

2

=-35

×

12 13

+

4 5

×

153=-1665.

∴cos(α+β)=2cos2 + -1
2

=2× - 16 2-1=-3 713.

65

4 225

专题一

专题二

专题三

变式训练 2 为

已知 sin α=12+cos α,且 α∈

0,

π 2

,则sicnos2-π4

的值

.

解析:∵sin α=12+cos α,

∴sin α-cos α=1,∴ 2sin - π = 1,

2

42

∴sin - π = 2.

4

4

又∵α∈

0,

π 2

,∴α-π4 ∈

-

π 4

,

π 4

,

∴cos - π = 14,

4

4

∴cos 2α=-sin 2 - π
4

∴ cos2
sin

-π4

=

-

7
4 2

=-

214.

4

=-2sin - π ·cos - π =-2× 2 ×

4

4

4

14=- 7.
44

答案:- 14
2

专题一

专题二

专题三

3.给值求角

例 3 已知 sin α=102,cos β=31010,且 α,β 为锐角,求 α+2β 的值. 分析:围绕着 cos(α+2β)的展开式进行铺垫,关键要利用给定角的锐 角条件及给定数据确定出 α+2β 的尽可能小的范围.

解:因为 sin α=102,α 为锐角,

所以 cos α= 1-sin2 = 1- 2 2 = 7 2.

10

10

因为 cos β=3 10,β 为锐角,
10

所以 sin β=

1-

3 10 10

2

=

1100.

所以 sin 2β=2sin βcos β=2× 10 × 3 10 = 3,
10 10 5

专题一

专题二

专题三

cos 2β=1-2sin2β=1-2×

10 2 = 4.

10

5

又 β∈

0,

π 2

,所以 2β∈(0,π).

而 cos 2β>0,所以 2β∈ 0, π .

2

所以 α+2β∈(0,π).

又 cos(α+2β)=cos α+2β=π4.

α·cos

2β-sin

α·sin

2β=7102

×

4 5

?

2 10

×

3 5

=

22,所以

专题一

专题二

专题三

变式训练 3 已知 cos α=- 55,tan β=13,π<α<32π,0<β<π2,求 α-β 的值.

解:方法一:由 cos α=- 55,π<α<32π β=13,于是 tan(α-β)=1t+antan-tatnan =

,1得+22-13×si13n=α1=.又- 2由5 5,tπa<nαα<=32csπoin,s0< =β2<.又π2 可ta得n

-π<-β<0,∴π<α-β<3π,因此,α-β=5π.

2

2

2

4

方法二:由 cos α=- 55,π<α<32π,得 sin α=-255. 由 tan β=13,0<β<π2,得 sin β= 110,cos β= 310.

∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=

-

2 5

5

×

3 10

?

-

5 5

×

1 10

=- 22.

又由 π<α<3π,0<β<π可得-π<-β<0,π<α-β<3π,因此,α-β=5π.

2

2

2

2

2

4

专题一

专题二

专三题三

专题二 三角函数化简与证明中的常用技巧 用三角恒等变换进行化简、证明的常见思路和方法: (1)变角(即式子中所含角的变换):通过观察不同三角函数式所包含 的角的差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角、用已知角 表示所求角等)、“消角”(如异角化同角,复角化单角,sin2α+cos2α=1 等)来减少角的个数,消除角与角之间的差异. (2)变名(即式子中不同函数之间的变换):通过观察角的三角函数种 类的差异,借助于“切割化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换. (3)变式(即式子的结构形式的变换):通过观察不同的三角函数结构 式的差异,借助于以下几种途径进行变换:

专题一

专题二

专三题三

①常值代换,如“1”的代换 1=sin2θ+cos2θ=tan 45°.

②变用公式,如 sin αcos α=12sin 2α,tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan

B).

③升降幂公式,如 1+cos α=2cos2,1-cos α=2sin2以及

2

2

cos2α=1+cos2 ,sin2α=1-cos2 .

2

2

④配方与平方,如 1+sin θ=

sin + cos

2
.

2

2

⑤辅助角公式 asin θ+bcos θ= 2 + 2sin(θ+φ) 其中 sin =

2+2

,cos

=

2+ 2

.

专题一

专题二

专题三

专题三 三角恒等变换在研究三角函数中的应用

例 4(2015 重庆高考)已知函数 f(x)=sin π - sin x- 3cos2x.
2
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;

(2)讨论

f(x)在

π 6

,

2π 3

上的单调性.

分析:先用诱导公式、倍角公式、辅助角公式将原函数化为正弦型函

数再进行函数性质或图像的研究.

解:(1)f(x)=sin

π 2

-

sin x-

3cos2x

=cos xsin x- 23(1+cos 2x)

=1sin 2x- 3cos 2x- 3=sin 2- π ? 3,

2

2

2

3

2

因此 f(x)的最小正周期为 π,最大值为2- 3.
2

专题一

专题二

专题三

(2)当 x∈ π , 2π 时,0≤2x-π≤π,从而

63

3

当 0≤2x-π ≤ π,即π≤x≤5π时,f(x)单调递增,

3 26

12

当π≤2x-π≤π,即5π≤x≤2π时,f(x)单调递减.

2

3

12

3

综上可知,f(x)在 π , 5π 上单调递增;在 5π , 2π 上单调递减.

6 12

12 3

变式训练 4 已知函数 f(x)= 3sin ωxcos ωx-cos2ωx-1(ω>0,x∈R),且

2

函数 f(x)的最小正周期为 π.

(1)求函数 f(x)的对称轴; (2)将函数 f(x)的图像向左平移 π 个单位长度,再向上平移 1 个单位长
12
度得到函数 g(x)的图像,求函数 y=4g2(x)-12g(x)-1 在 x∈ - π , π 上的
12 3
最值.

专题一

专题二

专题三

解:(1)由已知 f(x)= 3sin ωxcos ωx-cos2ωx-12 = 23sin 2ωx-12cos

2ωx-1=sin 2- π -1,

6

因为 f(x)的最小正周期为 π,故2π =π,所以 ω=1.

2

故 f(x)=sin

2-

π 6

-1,其对称轴满足 2x-π6=kπ+π2(k∈Z),故其对称轴为

x=π + π(k∈Z).

23

专题一

专题二

专题三

(2)将函数 f(x)的图像向左平移 π 个单位长度得到函数 y=sin 2 +
12

π 12

-

π 6

-1=sin

2x-1 的图像,再向上平移

1 个单位长度,得到函数

g(x)=sin 2x 的图像,

因此 y=4g2(x)-12g(x)-1=4sin22x-12sin 2x-1.



t=sin 2x,由于

2x∈

-

π 6

,

2π 3

,故

t∈

-

1 2

,1

,

所以 y=4t2-12t-1=4

- 3

2
-10,

2

因为当

t∈

-

1 2

,1

时,函数

y=4t2-12t-1

递减,

所以当 t=-12,即 x=-1π2时,ymax=6;当 t=1,即 x=π4时,ymin=-9.

考点一

考点二

考点三

考点一:同角三角函数的基本关系式与和(差)角公式的应用

1.(2015 课标全国Ⅰ高考)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( )

A.- 3 B. 3 C.-1 D.1

2

2

2

2

解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°

=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° =sin(10°+20°)=sin 30°=1.
2
答案:D

考点一

考点二

考点三

2.(2015 重庆高考)若 tan α=2tanπ,则cos
5 sin

-310π -π5

=(

)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:因为 tan α=2tanπ,
5
所 ==ststa以iainnnncsco+c-oiostntsasanπ5nπ5+π5-π-5-c31cπ5oo0π=ss=3ststiainannsnπ5πi5π5nπ5si=n3-31.0π-π5+π2 答案:C

=

sin sin

+π5 -π5

考点一

考点二

考点三

3.(2014课标全国Ⅱ高考)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大

值为

.

解析:∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)

=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)

=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)

=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ

=sin[(x+φ)-φ]=sin x.
∴f(x)max=1.
答案:1

考点一

考点二

考点三

4.(2013 课标全国Ⅱ高考)设 θ 为第二象限角,若 tan

+ π
4

=

1 2

,则

sin

θ+cos θ=

.

解析:由 tan

+ π
4

=

1+tan 1-tan

=

12,得

tan

θ=-13,即

sin

θ=-13cos

θ.

将其代入 sin2θ+cos2θ=1,得10cos2θ=1.
9

因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ=-3 10,sin θ= 10,sin θ+cos θ=- 10.

10

10

5

答案:-

10 5

考点一

考点二

考点三

考点二:二倍角公式的应用

5.(2013 课标全国Ⅱ高考)已知 sin 2α=2,则 cos2 + π =( )

3

4

A.16 B.13 C.12 D.23

解析:由半角公式可得,cos2 + π
4

1+cos
=

2+π2

= 1-sin2 = 1-23 = 1.

2

2

26

答案:A

考点一

考点二

考点三

6.(2011 课标全国高考)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正

半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ= ( )

A.-4 B.-3 C.3 D.4

5

5

5

5

解析:由题意知 tan θ=2,且 θ 为第一或第三象限角,故 cos

2θ=

co s2-si n2 co s2+si n2

=

1-ta n2 1+ta n2

=

1-22 1+22

=-35.

答案:B

考点一

考点二

考点三

考点三:三角函数的综合性问题
7.(2014课标全国Ⅰ高考)石成金

如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射 线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线 OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图像大致为( )

考点一

考点二

考点三

解析:由题意|OM|=|cos

x|,f(x)=|OM||sin

x|=|sin

xcos

x|=

1 |sin

2x|,由

此可知C正确.

2

答案:C

考点一

考点二

考点三

8.(2011 课标全国高考)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) >

0,||

<

π 2

的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则(

)

A.f(x)在

0,

π 2

单调递减

B.f(x)在 π , 3π 单调递减

44

C.f(x)在

0,

π 2

单调递增

D.f(x)在 π , 3π 单调递增

44

考点一

考点二

考点三

解析:∵f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)

=

2sin

+ + π
4

,

又∵f(x)的最小正周期为 π,∴2π=π,即 ω=2.



f(-x)=f(x),故


f(x)是偶函数,即

φ+π4

=

π2+kπ(k∈Z),φ=kπ+π4(k∈Z).

因|φ|<π,取 k=0,则 φ=π,从而 f(x)= 2cos 2x,且在 0, π 上单调递减,故

2

4

2

选 A.

答案:A

考点一

考点二

考点三

9.(2015天津高考)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数

f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图像关于直线x=ω对

称,则ω的值为

.

解析:f(x)=sin ωx+cos ωx= 2sin + π ,由 2kπ-π≤ωx+π≤2kπ+π,k

4

2

4

2

∈Z,解得2π

?

43π ≤x≤2π

+

π 4

,k∈Z,即

f(x)的单调递增区间是

2 π

-

3π 4

,



+

π 4

(k∈Z),

2π - 3π ≤ -(∈Z),

而 f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,所以




4

4



解得 (∈Z),

2 ≤ -2π + 3π (∈Z),

4

2





+

π 4

(∈Z).

考点一

考点二

考点三

因为 ω2>0,所以只能取 k=0,这时有 0<ω2≤π4.①

又因为函数 f(x)的图像关于直线 x=ω 对称,

所以 ω2+π=kπ+π(k∈Z),即 ω2=kπ+π(k∈Z).②

4

2

4

由①②知 ω2=π.故 ω= π.

4

2

答案:

π 2



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