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高考数学一轮复习单元检测十一概率提升卷单元检测文含解析新人教A版


单元检测十一 概 率(提升卷)
考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应 位置上. 3.本次考试时间 100 分钟,满分 130 分. 4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.将红、黑、蓝、白 4 张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁 4 个人,每人分得 1 张,则事件“甲 分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥事件,但不是对立事件 D.以上答案都不对 答案 C 解析 记事件 A={甲分得红牌},记事件 B={乙分得红牌}, 由于事件 A,B 不会同时发生,所以是互斥事件, 但事件 A 和事件 B 也可能都不发生,所以它们不是对立事件. 所以两事件为互斥事件,但不是对立事件. 2.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水的概率为 80%”,这是指( ) A.明天该地区有 80%的地方降水,有 20%的地方不降水 B.明天该地区有 80%的时间降水,其他时间不降水 C.气象台的专家中有 80%的人认为会降水,另外有 20%的专家认为不降水 D.明天该地区降水的可能性为 80% 答案 D 解析 概率是指随机事件发生的可能性. 3.4 张卡片上分别写有数字 5,6,7,8,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上 的数字之和为偶数的概率为( ) A.13B.12C.23D.34
1

答案 A 解析 从 4 张卡片中随机抽取 2 张的抽法有{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{6,8},{7,8}, 共 6 种,数字和为偶数的有{5,7},{6,8},共 2 种,故所求的概率为26=13. 故选 A. 4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.42, 摸出白球的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是( ) A.0.42B.0.28C.0.3D.0.79 答案 C 解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件, ∴摸出黑球的概率是 1-0.42-0.28=0.3. 5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6),骰子朝上的 点数分别为 X,Y,则 log2XY=1 的概率为( ) A.16B.356C.112D.12 答案 C 解析 由题意知 X,Y 应满足 Y=2X,基本事件总数为 36.
31 所以满足题意的有(1,2),(2,4),(3,6)三种,所以概率为36=12. 6.一袋中装有大小相同,编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球,从中有放回地每次取一个 球,共取 2 次,则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( ) A.312B.614C.332D.634 答案 D 解析 从中有放回地取 2 次,所取号码的情况共有 8×8=64(种),其中编号和不小于 15 的 有 3 种,分别是(7,8),(8,7),(8,8),共 3 种. 由古典概型概率公式可得所求概率为 P=634. 7.已知函数 f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],若 x0∈[-5,5],则 f(x0)≤0 的概率为( ) A.110B.23C.130D.25 答案 C 解析 由 f(x)=x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2, 所以满足 f(x0)≤0 的 x0 的取值范围为[-1,2], 由几何概型概率公式可得,满足 f(x0)≤0 的概率为 P=25- -??- -15??=130.
2

8.已知 ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取 到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( )

A.π4 B.1-π4 C.π8 D.1-π8

答案 B

解析 根据几何概型得:取到的点到 O 的距离大于 1 的概率:P=dD=圆矩外形部的分面的积面积=22-×π21

=1-π4 .

9.欧阳修《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自

钱孔入,而钱不湿”.卖油翁的技艺让人叹为观止.设铜钱是直径为 4cm 的圆,它中间有边

长为 1cm 的正方形孔.若随机向铜钱上滴一滴油,则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的

概率为( )

11 1 1 A.4π B.4C.16π D.16

答案 A

12

1

解析 由题意得,所求的概率为π ×22=4π ,故选 A.

10.如图所示,在圆心角为 90°的扇形 AOB 中,以圆心 O 作为起点作射线 OC,OD,则使∠AOC

+∠BOD<45°的概率为( )

A.12

B.14

C.18

D.116

答案 C

解析 设∠AOC=x°,∠BOD=y°,把(x,y)看作坐标平面上的点,则试验的全部结果所构

成的区域为 Ω ={(x,y)|0≤x≤90,0≤y≤90},若事件 A 表示∠AOC+∠BOD<45°,则其所 构成的区域为 A={(x,y)|x+y<45,0≤x≤90,0≤y≤90},即图中的阴影部分,

1



S

1 阴影=2×45×45.由几何概型的概率公式,得所求概率

P(A)=2×904×5×9045=18.

故选 C.

11.从集合 A={-2,-1,2}中随机选取一个数记为 a,从集合 B={-1,1,3}中随机选取一

个数记为 b,则直线 ax-y+b=0 不经过第四象限的概率为( )

3

A.29B.13C.49D.14

答案 A

解析 从集合 A,B 中随机选取后组合成的数对有(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-

1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共 9 个,要使直线 ax-y+b=0 不经过

第四象限,则需 a≥0,b≥0,只有(2,1),(2,3)满足,所以所求概率 P=29,故选 A.

12.有一种竞猜游戏,游戏规则如下:在 20 个商标牌中,有 5 个商标牌的背面注明了一定的

奖金金额,其余商标牌的背面是一张笑脸,若翻到笑脸,则不得奖,参加这个游戏的人有三

次翻牌的机会.某人前两次翻牌均得若干奖金,如果翻过的牌不能再翻,那么此人第三次翻

牌获奖的概率是( )

111 3 A.4B.6C.5D.20

答案 B

解析 因为 20 个商标有 5 个中奖,翻了两个都中奖,所以还剩 18 个,其中还有 3 个会中奖,

所以这位观众第三次翻牌获奖的概率是138=16.

第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分)

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)

13 . 若 某 人 在 打 靶 时 连 续 射 击 2 次 , 则 事 件 “ 至 少 有 1 次 中 靶 ” 的 对 立 事 件 是

____________________.

答案 两次都未中靶

14.若连续掷两次骰子,第一次掷得的点数为 m,第二次掷得的点数为 n,则点 P(m,n)落在

圆 x2+y2=16 内的概率是________.(骰子为正方体,且六个面分别标有数字 1,2,…,6)

2 答案 9

解析 由题意得,基本事件总数为 36,点 P 落在圆内包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),

(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共 8 个,

由古典概型概率公式可得所求概率为386=29.

15.如图所示,在半径为

1

1 的半圆内放置一个边长为2的正方形

ABCD,若向半圆内任投一点,

则该点落在正方形内的概率为________.

答案

1 2π

4

解析

S

正方形=???12???2=14,S

1 半圆=2×π

×12=π2



由几何概型的概率计算公式,

1 得 P=SS正半方圆形=π4 =21π .
2

6 16.在区间(0,1)上随机地取两个数,则两数之和小于5的概率是________.

答案

17 25

解析 设取出的两个数分别为 x,y,可得 0<x<1 且 0<y<1,满足条件的点(x,y)所在的

区域为横纵坐标都在(0,1)之间的正方形内部,即如图的正方形 OABC 的内部,

其面积为 S=1×1=1,若两数之和小于65,即 x+y<65,对应的区域为直线 x+y=65的下方, 且在正方形 OABC 内部,即如图的阴影部分.∵直线 x+y=65分别交 BC,AB 于点 D???15,1???, E???1,15???, ∴S△BDE=12×45×45=285. 因此,阴影部分面积为 S′=SABCD-S△BDE=1-285=1275. 由此可得:两数之和小于65的概率为 P=SSA′BCD=2157. 三、解答题(本题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12 分)现有 7 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 数学成绩优秀,B1,B2 物理成绩优 秀,C1,C2 化学成绩优秀,从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个小组代 表学校参加竞赛. (1)求 C1 被选中的概率; (2)求 A1,B1 不全被选中的概率. 解 从 7 名中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件 集合 Ω ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2, B1, C 2) , (A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2, C2)}. 事件 Ω 由 12 个基本事件组成,由于每一个基本事件被抽取的机会相等,因此这些基本事件

5

的发生是等可能的. (1)用 M 表示“C1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2, B2,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1)}, 事件 M 由 6 个基本事件组成,因此 P(M)=162=12. (2)用 N 表示“A1,B1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“A1,B1 全被选中”这一
事件,由于 N ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},事件 N 由 2 个基本事件组成,所以 P( N )= 122=16, 所以由对立事件的概率公式,得 P(N)=1-P( N )=1-16=56. 18.(12 分)某校高三年级数学竞赛初赛考试后,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其 频率分布直方图如图所示,已知成绩在 130~140 分数段的人数为 2. (1)求这组数据的平均数 M; (2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段至高分段依次为第一组、第二组、…、第五 组)中任意选出两人,形成帮扶小组.若选出的两人的成绩之差大于 20,则称这两人为“黄 金搭档组”,试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.
解 设 90~140 分之间的人数为 n,由 130~140 分数段的人数为 2,可知 0.005×10×n=2, 得 n=40. (1)平均数 M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113. (2)依题意第一组共有 40×0.01×10=4(人),记作 A1,A2,A3,A4;第五组共有 2 人,记作 B1,B2.从第一组和第五组中任意选出两人共有下列 15 种选法: {A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,A4},{A2,B1},{A2,B2},{A3, A4},{A3,B1},{A3,B2},{A4,B1},{A4,B2},{B1,B2}. 设事件 A:选出的两人为“黄金搭档组”, 若两人成绩之差大于 20,则两人分别来自第一组和第五组,共有 8 种选法: {A1,B1},{A2,B1},{A3,B1},{A4,B1},{A1,B2},{A2,B2},{A3,B2},{A4,B2}, 故 P(A)=185. 19.(13 分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名同学的投篮命中次数,乙组记录中有 一个数据模糊,无法确认,在图中用 x 表示. (1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少 1,求 x 的值及乙组同学投篮命 中次数的方差;
6

(2)在(1)的条件下,分别从甲、乙两组投篮命中次数低于 10 的同学中,各随机选取 1 名,求 这 2 名同学的投篮命中次数之和为 16 的概率.



(1)依题意得x+8×25+9+10=7+8+95+11×2-1,解得

x=6,

x

41 乙= 5 ,

s2=15??????451-6???2+???451-8???2×2+???451-9???2+

???451-10???2???=1.76. (2)记甲组投篮命中次数低于 10 次的同学为 A1,A2,A3,他们的命中次数分别为 9,8,7. 乙组投篮命中次数低于 10 次的同学为 B1,B2,B3,B4,他们的命中次数分别为 6,8,8,9. 依题意,不同的选取方法有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3), (A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),共 12 种. 设“这两名同学的投篮命中次数之和为 16”为事件 C,其中恰含有(A2,B2),(A2,B3),(A3,B4),
共 3 种. ∴P(C)=132=14.

20.(13 分)从某工厂抽取 50 名工人进行调查,发现他们一天加工零件的个数在 50 至 350 之 间,现按生产的零件个数将他们分成六组,第一组[50,100),第二组[100,150),第三组 [150,200),第四组[200,250),第五组[250,300),第六组[300,350],相应的样本频率分布 直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中 x 的值; (2)设位于第六组的工人为拔尖工,位于第五组的工人为熟练工,现用分层抽样的方法在这两 类工人中抽取一个容量为 6 的样本,从样本中任意取两个,求至少有一个拔尖工的概率. 解 (1)根据题意知,(0.0024+0.0036+x+0.0044+0.0024+0.0012)×50=1, 解得 x=0.0060. (2)由题意知拔尖工共有 50×0.0012×50=3(人),熟练工共有 50×0.0024×50=6(人). 抽取容量为 6 的样本,则拔尖工应抽取 3×23=2(人),熟练工应抽取 6×23=4(人). 设拔尖工为 A1,A2,熟练工为 B1,B2,B3,B4. 则从中任抽两个的所有可能情况有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2), (A2,B3),(A2,B4),(A1,A2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4), 共 15 种, 其中,至少有一个拔尖工的情况有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),
7

(A2,B3),(A2,B4),(A1,A2),共 9 种, 93
由古典概型概率公式可得至少有一个拔尖工的概率是15=5.
8



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