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八年级数学(上)7.1为会么要证明


八年级数学(上)7.1 为会么要证明
一.选择题(共 10 小题) 1.(思维拓展)如图所示,①代表 0,②代表 9,③代表 6,则④代表( )

A.1

B.3

C.5

D.7

2.甲、乙、丙、丁四人商量周末出游.甲说:“乙去,我就肯定去.”乙说:“丙去我就不去.”

丙说:“无论丁去不去,我都去.”丁说:“甲乙中至少有一人去,我就去.”以下结论可

能正确的是( )

A.甲一个人去了

B.乙、丙两个人去了

C.甲、丙、丁三个人去了

D.四个人都去了

3.4 个人进行游泳比赛,赛前 A、B、C、D 等 4 名选手进行预测.A 说:“我肯定得第一名.”

B 说:“我绝对不会得最后一名.”C 说:“我不可能得第一名,也不会得最后一名.”D

说:“那只有我是最后一名!”,比赛揭晓后,发现他们之中只有一位预测错误.预测错误

的人是( )

A.A

B.B

C.C

D.D

4.甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球,不小心打碎了玻璃窗,有人问他们时,他们

这样说﹣﹣甲说:“玻璃是丙也可能是丁打的”.乙说:“肯定是丁打的”.丙说:“我没有

打碎玻璃”.丁说:“我没有干这种事”.他们的老师听了后说道:“他们中有三位都不会

说谎”.由此我们知道,打碎玻璃的同学是( )

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

5.在一次 1500 米比赛中,有如下的判断:甲说:丙第一,我第三;乙说:我第一,丁第四;

丙说:丁第二,

我第三.结果是每人的两句话中都只说对了一句,则可判断第一名是( )

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

6.在足球、篮球、网球和垒球中,小张、小王、小李和小刘分别喜欢其中的一种,根据下

面的提示,判断小刘喜欢的是( )

①小张不喜欢网球;

②小王不喜欢足球;

第 1 页(共 20 页)

③小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球.

A.足球

B.篮球

C.网球

D.垒球

7.某轮船往返于 A、B 两地之间,设船在静水中的速度不变,那么,当水的流速增大时,

轮船往返一次所用的时间( )

A.不变

B.增加

C.减少

D.增加,减少都有可能

8.在可以不同年的条件下,下列结论叙述正确的是( )

A.400 个人中至少有两人生日相同

B.300 个人至少有两人生日相同

C.300 个人一定没有两人生日相同

D.300 个人一定有两人生日相同

9.如图是一个风景区,A,B,C,D,E,F 是这一风景区内的六个主要景点,现观光者聚

于 A 点.假若你是导游,要带领游客欣赏这六个景点后再回到 A 点,但又不想多走“冤

枉路”(不能走重复的路线和经过同一个景点),你认为可选择行走路线有( )种.

A.4

B.5

C.6

D.7

10.某班有 50 人,其中 35 人参加文学社,45 人参加书画社,38 人参加音乐社,42 人参加

体育社,则四个社都去参加的学生至少是多少人?( )

A.10

B.12

C.14

D.16

二.填空题(共 6 小题)

11.某地发生车祸,A、B、C 三名司机中有一位司机肇事,警察找了 A、B、C 三个司机询

问,A 说:“是 B 肇事.”,B 说:“不是我肇事.”,C 说:“不是我肇事.”这三个司机中只

有一人说的话正确,请问,聪明的同学,你可以推断出是司机

肇事.

12.某气象台发现:在某段时间里,如果早晨下雨,那么晚上是晴天;如果晚上下雨,那么

早晨是晴天.已知这段时间有 9 天下了雨,并且有 6 天晚上是晴天,7 天早晨是晴天,则

第 2 页(共 20 页)

这一段时间有

天.

13.甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球,忽听“砰”的一声,球击中了李大爷家的窗户.李

大爷跑出来查看,发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”

甲说:“是乙不小心闯的祸.”乙说:“是丙闯的祸.”

丙说:“乙说的不是实话.”丁说:“反正不是我闯的祸.”

如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的祸

答:是



14.好久未见的 A,B,C,D,E 五位同学欢聚一堂,他们相互握手一次,中途统计各位同

学握手次数为:A 同学握手 4 次,B 同学握手 3 次,C 同学握手 2 次,D 同学握手 1 次,

那么此时 E 同学握手

次.

15.A、B、C、D、E、F 六足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,统计出 A、B、C、

D、E、五队已分别比赛了 5、4、3、2、1 场球,则还没与 B 队比赛的球队是



16.小明的妈妈制作了 30 个粽子,准备给小丽若干个,小明打电话给小丽,小丽却说:“我

在外地旅游,三天后再来拿,你先把粽子放在冰箱里冷冻,…要几个粽子么,可能要 1

个,也可能要 30 个,也有可能要 1 个到 30 任意个数”,小明的妈妈拿出了 5 个袋子,要

求小明把这 30 个粽子放到 5 个袋子中,并密封好放在冰箱里冷冻,当小丽来拿时,不管

小丽要 1 到 30 个中的几个粽子,不解冻不拆封,拿 5 袋粽子中的若干袋即可,小明该在

5 个袋子中各放几个呢?请你帮帮小明,在下面五个方框中填上装粽子的数目.

三.解答题(共 9 小题) 17.妈妈要榨果汁,她有苹果、橙子、雪梨三种水果,且其颗数比为 9:7:6,小明发现妈
妈榨完果汁后,苹果、橙子、雪梨的颗数比变为 6:3:4,且榨果汁时妈妈没有使用雪梨, 小明根据他的发现利用所学数学知识推断出妈妈榨果汁时只使用了橙子,妈妈告诉小明,

他的判断完全正确.请你尝试写出小明的推断过程.

18.某校学生会主席换届选举,经初选、复选后,共有甲,乙,丙三人进入最后的竞选,最 后决定用投票方式进行选举,共发出 1800 张选票,得票数最高者为当选人,且废票不计 入任何一位候选人的得票数内,全校设有四个投票箱,目前第一、第二、第三投票箱已

开完所有选票,剩下第四投票箱尚未开票,结果如表所示:(单位:票)

投票箱

候选人

废票

合计

第 3 页(共 20 页)









200

211

147

12

570



286

85

244

15

630



97

41

205

7

350



250

(1)若第二投票箱候选人甲的得票数比乙的 3 倍还多 31 票,请分别求出第二投票箱甲、

乙两名候选人的得票数.

(2)根据(1)题的数据分析,请判断乙侯选人是否还有机会当选,并详细解释或完整

写出你的解题过程.

19.某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为

10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.

学生序号

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

立定跳远(单位: 1.96 米)

1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60

30 秒跳绳(单位: 63 次)

a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65

在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决 赛的有 6 人,请你根据表中数据猜一下 2 号,5 号,8 号,9 号学生哪一个进入 30 秒跳绳 决赛.说明你的理由. 20.我们的数学教材中有一个“抢 30 的游戏”,现在改为“甲、乙二人抢 20”的游戏.游 戏规则是:甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数,然后又轮到甲再 接着乙的数往下说一个或两个数,甲、乙反复轮流说,每次每人说一个或两个数都可以, 但不能连续说三个数,也不能一个数也不说.谁先抢到 20,谁就获胜.因为甲先说,你 认为谁会获胜?请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理. 21.生活中的说理 小明、小红、小丽三人中一个是班长,一个是学习委员,一个是生活委员.现在知道小 红比生活委员年龄大,小明与学习委员不同岁,学习委员比小丽年龄小.请你猜一猜他 们当中谁是班长,并说明理由.

第 4 页(共 20 页)

22.参加学校科普知识竞赛决赛的 5 名同学 A,B,C,D,E 在赛后知道了自己的成绩,想 尽快得知比赛的名次,大家互相打听后得到了以下消息:(分别以相应字母来对应他们本 人的成绩)

信息序号

文字信息

数学表达式

1

C 和 D 的得分之和是 E 得分

的2倍

2

B 的得分高于 D

B>D

3

A 和 B 的得分之和等于 C 和

D 的总分

4

D 的得分高于 E

(1)请参照表中第二条文字信息的翻译方式,在表中写出其它三条文字信息的数学表达

式;

(2)5 位同学的比赛名次依次是

.(仿照第二条信息的数学表达式用“>”连接)

23.推理判断题七年级五个班的班长因为参加校学生干部培训会而没有观看年级的乒乓球比

赛.年级组长让他们每人猜一猜其中两个班的比赛名次.这五个班长各自猜测的结果如

表所示:

一班名次 二班名次 三班名次 四班名次 五班名次

一班班长猜

3

5

二班班长猜

1

4

三班班长猜

5

4

四班班长猜

2

1

五班班长猜

3

4

正确结果

年级组长说,每班的名次都至少被他们中的一人说对了,请你根据以上信息将一班~五 班的正确名次填写在表中最后一行. 24.阅读下列材料,并解答以下问题. 完成一件事有 k 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 个不同的方法,在第二类方案中有 m2 个不同的方法,…,在第 k 类方案中有 mk 个不同的方法,那么,完成这件事共有 N
第 5 页(共 20 页)

=m1+m2+…+mk 种不同方法,这是分类加法计数原理.完成一件事有需要分成 k 个步骤, 做第一步有 m1 种不同方法,做第二步有 m2 种不同方法,…,做第 k 步有 mk 种不同方法, 那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mk 种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. (1)若完成沿图所示的街道从 A 点出发向 B 点行进这件事(规定:必须向北或向东走),

会有

种不同的走法.

(2)若完成沿图所示的街道从 A 点出发向 B 点行进,并禁止通过交叉点 C 这件事(规

定:必须向北或向东走),有

种不同的走法.

25.有 12 名游客要赶往离住地 40 千米的一个火车站去乘火车,离开车时间只有 3 小时了, 他们步行的速度为每小时 6 千米,靠走路是来不及了,唯一可以利用的交通工具只有一 辆小汽车,但这辆小汽车连司机在内最多能乘 5 人,汽车的速度为每小时 60 千米. (1)甲游客说:我们肯定赶不上火车;(2)乙游客说:只要我们肯吃苦,一定能赶上火 车;(3)丙游客说:赶上或赶不上火车,关键取决于我们自己. 亲爱的同学,当你身处其境,一定也有自己的想法,请你就某位游客的说法,用数学知 识以理其人,由于难度不同,请你慎重选择. 选择(1)答对只能给 3 分,选择(2)答对可以给 4 分,选择(3)答对我们奖赏你满分 6 分.

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参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题) 1.(思维拓展)如图所示,①代表 0,②代表 9,③代表 6,则④代表( )

A.1

B.3

C.5

【解答】解:∵如图所示,①代表 0,②代表 9,③代表 6,

D.7

, ∴图①可以代表 0 点,图②可以代表 9 点,图③可以代表 6 点,

∴则④代表 3 点.

故选:B.

2.甲、乙、丙、丁四人商量周末出游.甲说:“乙去,我就肯定去.”乙说:“丙去我就不去.”

丙说:“无论丁去不去,我都去.”丁说:“甲乙中至少有一人去,我就去.”以下结论可

能正确的是( )

A.甲一个人去了

B.乙、丙两个人去了

C.甲、丙、丁三个人去了

D.四个人都去了

【解答】解:A、∵丙说:“无论丁去不去,我都去.”

∴丙一定去出游,故 A 选项错误;

B、∵乙说:“丙去我就不去.”,

∴由选项 A 可知,乙一定没去,故选项 B 错误;

C、∵丁说:“甲乙中至少有一人去,我就去.”

∴由选项 B 可知,甲、丁一定都出游,故甲、丙、丁三个人去了,此选项正确;

D、∵乙说:“丙去我就不去.”

∴四个人不可能都去出游,故此选项错误.

故选:C.

3.4 个人进行游泳比赛,赛前 A、B、C、D 等 4 名选手进行预测.A 说:“我肯定得第一名.”

第 7 页(共 20 页)

B 说:“我绝对不会得最后一名.”C 说:“我不可能得第一名,也不会得最后一名.”D

说:“那只有我是最后一名!”,比赛揭晓后,发现他们之中只有一位预测错误.预测错误

的人是( )

A.A

B.B

C.C

D.D

【解答】解:先考虑 B 和 D,如果 B 错,则 B 最后,D 也错如果 D 错,则 A 第一,

B 不是最后,C 不是最后,D 不是最后矛盾,则 B 和 D 都对;

再考虑 A 和 C,如果 C 错,则 A 第一,B 中间,D 最后,C 就对了,矛盾;

若 A 错,则 C 中间 D 最后,A 中间 B 第一,成立所以 A 是错的.

故选:A.

4.甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球,不小心打碎了玻璃窗,有人问他们时,他们

这样说﹣﹣甲说:“玻璃是丙也可能是丁打的”.乙说:“肯定是丁打的”.丙说:“我没有

打碎玻璃”.丁说:“我没有干这种事”.他们的老师听了后说道:“他们中有三位都不会

说谎”.由此我们知道,打碎玻璃的同学是( )

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

【解答】解:假设甲打碎玻璃,甲、乙说了谎,与老师的话矛盾,

假设乙打碎了玻璃,甲、乙说了谎,与老师的话矛盾,

假设丙打碎了玻璃,丙、乙说了谎,与老师的话矛盾,

假设丁打碎了玻璃,只有丁说了谎,与老师的话一致,符合题意,

所以是丁打碎了玻璃;

故选:D.

5.在一次 1500 米比赛中,有如下的判断:甲说:丙第一,我第三;乙说:我第一,丁第四;

丙说:丁第二,

我第三.结果是每人的两句话中都只说对了一句,则可判断第一名是( )

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

【解答】解:根据分析,知

第一名应是乙.

故选:B.

6.在足球、篮球、网球和垒球中,小张、小王、小李和小刘分别喜欢其中的一种,根据下

面的提示,判断小刘喜欢的是( )

①小张不喜欢网球;

第 8 页(共 20 页)

②小王不喜欢足球;

③小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球.

A.足球

B.篮球

C.网球

D.垒球

【解答】解:由小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球,得

小王喜欢足球、垒球;

小王不喜欢足球,得小王喜欢垒球,小李喜欢足球.

由小张不喜欢网球,得小张喜欢篮球,

只剩下网球,故小刘喜欢网球,

故选:C.

7.某轮船往返于 A、B 两地之间,设船在静水中的速度不变,那么,当水的流速增大时,

轮船往返一次所用的时间( )

A.不变

B.增加

C.减少

D.增加,减少都有可能

【解答】解:设全程为 S,船在静水中的速度为 V,水的流速为 V 水,往返一次所需时间



,当水的流速度增大时,则不妨设水的流速由 V 水 1,变为 V 水 2,所以,

时间差为



∵(V+V 水 1)(V﹣V 水 1)﹣(V+V 水 2)(V﹣V 水 2)=V 水 22﹣V 水 12>0, ∴V 水 2>V 水 1 ∴当水速增加时,往返一次时间变长.

故选:B.

8.在可以不同年的条件下,下列结论叙述正确的是( )

A.400 个人中至少有两人生日相同

B.300 个人至少有两人生日相同

C.300 个人一定没有两人生日相同

D.300 个人一定有两人生日相同

【解答】解:一年最多有 366 天,所以 300 个人两人生日可能不相同,故选项 B 错误;

300 个人至少有两人生日相同以及 300 个人一定有两人生日相同,都是不确定事件,故 C、

D 错误.

第 9 页(共 20 页)

400 个人中至少有两人生日相同,正确. 故选:A. 9.如图是一个风景区,A,B,C,D,E,F 是这一风景区内的六个主要景点,现观光者聚 于 A 点.假若你是导游,要带领游客欣赏这六个景点后再回到 A 点,但又不想多走“冤 枉路”(不能走重复的路线和经过同一个景点),你认为可选择行走路线有( )种.

A.4

B.5

C.6

【解答】解:行走的路径有:A→E→D→C→F→B→A,

A→B→F→C→D→E→A,

A→E→D→C→B→F→A,

A→B→C→D→E→F→A,

A→F→E→D→C→B→A

A→F→B→C→D→E→A,

故共有 6 条路径.

故选:C.

D.7

10.某班有 50 人,其中 35 人参加文学社,45 人参加书画社,38 人参加音乐社,42 人参加

体育社,则四个社都去参加的学生至少是多少人?( )

A.10

B.12

C.14

D.16

【解答】解:∵35 人参加文学社,45 人参加书画社,38 人参加音乐社,42 人参加体育

社,

第 10 页(共 20 页)

设四个都参加的人为 x 人,则 根据容斥原理,至少有 35+45﹣50=30 人同时参加文学社和书画社两个小组, 至少有 30+38﹣50=18 人同时参加文学社和书画社和音乐社三个小组,那么 x=18+42﹣50=10, ∴四个社都去参加的学生至少是 10 人. 故选:A. 二.填空题(共 6 小题) 11.某地发生车祸,A、B、C 三名司机中有一位司机肇事,警察找了 A、B、C 三个司机询

问,A 说:“是 B 肇事.”,B 说:“不是我肇事.”,C 说:“不是我肇事.”这三个司机中只 有一人说的话正确,请问,聪明的同学,你可以推断出是司机 C 肇事. 【解答】解:不妨设 A 是说真话.则 B 说假话,C 也是说真话,这里两人说真话,不符

合题意,假设错误;

不妨设 B 是说真话,则,A、C 两人说的都是假话,故 C 是肇事. 不妨设 C 是说真话,则 A、B 两人都说的假话,两人的话矛盾,不符合题意.

故答案为 C. 12.某气象台发现:在某段时间里,如果早晨下雨,那么晚上是晴天;如果晚上下雨,那么
早晨是晴天.已知这段时间有 9 天下了雨,并且有 6 天晚上是晴天,7 天早晨是晴天,则

这一段时间有 11 天. 【解答】解:解法一:设有 x 天早晨下雨,这一段时间有 y 天,

根据题意得:



①+②得:2y=22, y=11. 所以一共有 11 天; 解法二:设一共有 x 天,早晨下雨的有 y 天,晚上下雨的有 z 天,

根据题意得:



解得:



所以一共有 11 天.

第 11 页(共 20 页)

故答案为:11.

13.甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球,忽听“砰”的一声,球击中了李大爷家的窗户.李

大爷跑出来查看,发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”

甲说:“是乙不小心闯的祸.”乙说:“是丙闯的祸.”

丙说:“乙说的不是实话.”丁说:“反正不是我闯的祸.”

如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的祸

答:是 丁 .

【解答】解:本题可分三种情况:

①如果甲是真命题,则乙是假命题,丙是真命题,丁是真命题;显然与已知不符;

②如果甲是假命题,乙是真命题,则丙是假命题,丁是真命题;显然与已知不符;

③如果甲是假命题,乙是假命题,则丙是真命题,丁是假命题;在这种情况下,只有丙

说了实话,而其他人都说了假话,因此这种情况符合题意.

在③的条件下,丁说了假话,因此丁才是真正闯祸的人.

14.好久未见的 A,B,C,D,E 五位同学欢聚一堂,他们相互握手一次,中途统计各位同

学握手次数为:A 同学握手 4 次,B 同学握手 3 次,C 同学握手 2 次,D 同学握手 1 次,

那么此时 E 同学握手 2 次.

【解答】解:∵共有 5 个人,A 同学握手 4 次,则 A 与 B、C、D、E 每人握手一次,

∴B、C 握手一定不是与 D 握手,

∵B 握手 3 次,D 握手 1 次,∴B 握手 3 次一定是与 A、C、E 的握手;

∵C 握手 2 次,是与 A 和 B 握手.

∴E 一共握手 2 次,是与 A 和 B 握手.

故答案为:2.

15.A、B、C、D、E、F 六足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,统计出 A、B、C、

D、E、五队已分别比赛了 5、4、3、2、1 场球,则还没与 B 队比赛的球队是 E .

【解答】解:A 比了 5 场,

所以 A 与 E 比过,

又 E 只比了 1 场,

而 B 比了 4 场,

所以 B 与 E 没比过.

故答案为:E.

第 12 页(共 20 页)

16.小明的妈妈制作了 30 个粽子,准备给小丽若干个,小明打电话给小丽,小丽却说:“我 在外地旅游,三天后再来拿,你先把粽子放在冰箱里冷冻,…要几个粽子么,可能要 1 个,也可能要 30 个,也有可能要 1 个到 30 任意个数”,小明的妈妈拿出了 5 个袋子,要 求小明把这 30 个粽子放到 5 个袋子中,并密封好放在冰箱里冷冻,当小丽来拿时,不管 小丽要 1 到 30 个中的几个粽子,不解冻不拆封,拿 5 袋粽子中的若干袋即可,小明该在 5 个袋子中各放几个呢?请你帮帮小明,在下面五个方框中填上装粽子的数目.

1

2

4

8

15

【解答】解:根据题意得出:从 1 到 30 中选出 5 个数,当 5 个袋中分别装上:1,2,4, 8,15 个粽子时, 1,2,1+2=3,4,2+3=5,2+4=6,1+2+4=7,8,1+8=9,2+8=10,1=2+8=11, 4+8=12,1+4+8=13,2+4+8=14,15,… 故任意组合都能凑出 1 到 30 中任意一个数,故填表如下:

1

2

4

8

15

三.解答题(共 9 小题) 17.妈妈要榨果汁,她有苹果、橙子、雪梨三种水果,且其颗数比为 9:7:6,小明发现妈
妈榨完果汁后,苹果、橙子、雪梨的颗数比变为 6:3:4,且榨果汁时妈妈没有使用雪梨, 小明根据他的发现利用所学数学知识推断出妈妈榨果汁时只使用了橙子,妈妈告诉小明,

他的判断完全正确.请你尝试写出小明的推断过程.

【解答】解:∵苹果、橙子、雪梨三种水果,且其颗数比为 9:7:6, ∴设苹果为 9x 颗,橙子 7x 颗,雪梨 6x 颗(x 是正整数), ∵妈妈榨果汁时没有使用雪梨,

∴设妈妈榨完果汁后,苹果 a 颗,橙子 b 颗, ∵妈妈榨完果汁后,苹果、橙子、雪梨的颗数比变为 6:3:4,

∴ =, =,

∴a=9x,b= x, ∴苹果的用量为 9x﹣a=9x﹣9x=0, 橙子的用量为 7x﹣b=7x﹣ x= x>0, ∴妈妈榨果汁时,只用了橙子.

第 13 页(共 20 页)

18.某校学生会主席换届选举,经初选、复选后,共有甲,乙,丙三人进入最后的竞选,最 后决定用投票方式进行选举,共发出 1800 张选票,得票数最高者为当选人,且废票不计 入任何一位候选人的得票数内,全校设有四个投票箱,目前第一、第二、第三投票箱已

开完所有选票,剩下第四投票箱尚未开票,结果如表所示:(单位:票)

投票箱

候选人

废票

合计









200

211

147

12

570



286

85

244

15

630



97

41

205

7

350



250

(1)若第二投票箱候选人甲的得票数比乙的 3 倍还多 31 票,请分别求出第二投票箱甲、 乙两名候选人的得票数.

(2)根据(1)题的数据分析,请判断乙侯选人是否还有机会当选,并详细解释或完整 写出你的解题过程.

【解答】解:(1)设乙的得票数为 x 张,则甲的得票数为(3x+31)张, 根据题意得,x+3x+31+244=630, 解得 x=85,3x+31=286; 答:第二投票箱甲、乙两名候选人的得票数分别为 286 张,85 张;

(2)∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为:200+286+97=583; 乙得票数为:211+85+41=337; 丙得票数为:147+244+205=596: ∴596﹣583=13, 即丙目前领先甲 13 票, 所以第四投票所甲赢丙 14 票以上,则甲当选,故甲可能当选; 596﹣337=259>250, 若第四投票所 250 票皆给乙,乙的总票数仍然比丙低,故乙不可能当选. 19.某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
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学生序号

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

立定跳远(单位: 1.96 米)

1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60

30 秒跳绳(单位: 63 次)

a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65

在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决 赛的有 6 人,请你根据表中数据猜一下 2 号,5 号,8 号,9 号学生哪一个进入 30 秒跳绳 决赛.说明你的理由.

【解答】解:5 号学生进入 30 秒跳绳决赛, 理由:根据题意可知,1 到 8 号在立定跳远中进入决赛, (1)若 a﹣1>75,即 a>76,跳绳的排序是 a,a﹣1,75,72,70, 63 有两位跳绳,则很显然有 5 位或 7 位进入决赛,不符合题意, (2)若 a﹣1>63 或 a<70,即 64<a<70 时,跳绳的排序是 75,72,70,a,a﹣1, 63 有两位跳绳,则很显然有 5 位或 7 位进入决赛,不符合题意. (3)若 a=62,a﹣1=61,时,跳绳的排序是 75,72,70,63,63,a,一共六位进入

决赛,

也就是,1,2,3,5,6,7 号跳绳运动员六位进入决赛, (4)若 a<60,跳绳的排序是 75,72,70,63,63,60 一共六位进入决赛,

也就是,1,3,4,5,6,7 号跳绳运动员六位进入决赛, ∴1,3,5,6,7 号肯定进入跳绳决赛, ∴2 号,5 号,8 号,9 号学生中 5 号一定进入 30 秒跳绳决赛.

20.我们的数学教材中有一个“抢 30 的游戏”,现在改为“甲、乙二人抢 20”的游戏.游 戏规则是:甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数,然后又轮到甲再 接着乙的数往下说一个或两个数,甲、乙反复轮流说,每次每人说一个或两个数都可以,

但不能连续说三个数,也不能一个数也不说.谁先抢到 20,谁就获胜.因为甲先说,你 认为谁会获胜?请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理.

【解答】解:第一个人必胜;

因为是第一个人先说,所以主动权在第一个人,他肯定按 2,5,8,11,17,20,报数, 故第一个人必胜.

第 15 页(共 20 页)

21.生活中的说理 小明、小红、小丽三人中一个是班长,一个是学习委员,一个是生活委员.现在知道小 红比生活委员年龄大,小明与学习委员不同岁,学习委员比小丽年龄小.请你猜一猜他 们当中谁是班长,并说明理由. 【解答】解:小丽是班长, 理由:由小明与学习委员不同岁,可得小明非学习委员,则是班长或者生活委员; 由学习委员比小丽年龄小,可得小丽非学习委员,则是班长或者生活委员; 由小红比生活委员年龄大,可得小红是学习委员, 由年龄可以判断小丽是班长.
22.参加学校科普知识竞赛决赛的 5 名同学 A,B,C,D,E 在赛后知道了自己的成绩,想 尽快得知比赛的名次,大家互相打听后得到了以下消息:(分别以相应字母来对应他们本 人的成绩)

信息序号

文字信息

数学表达式

1

C 和 D 的得分之和是 E 得分 C+D=2E

的2倍

2

B 的得分高于 D

B>D

3

A 和 B 的得分之和等于 C 和 A+B=C+D

D 的总分

4

D 的得分高于 E

D>E

(1)请参照表中第二条文字信息的翻译方式,在表中写出其它三条文字信息的数学表达

式;

(2)5 位同学的比赛名次依次是 B>D>E>C>A .(仿照第二条信息的数学表达式

用“>”连接)

【解答】解:(1)

信息序号

文字信息

数学表达式

1

C 和 D 的得分之和是 E 得分

的2倍

C+D=2E

2

B 的得分高于 D

B>D

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3

A 和 B 的得分之和等于 C 和

D 的总分

A+B=C+D

4

D 的得分高于 E

D>E

故答案为:C+D=2E;A+B=C+D;D>E;

(2)由(1)得四个代数式①C+D=2E;②B>D;③A+B=C+D;④D>E;由①和③

得到一个推论⑤A+B=2E.由②④得⑥B>D>E;由①得⑦D=2E﹣C,代入④得到

2E﹣C>E,整理得到⑧E>C;由⑤得⑨B=2E﹣A,把⑦和⑨代入②得 2E﹣A>2E﹣

C,整理得⑩C>A,最后把⑥⑧⑩结合一起,得到 B>D>E>C>A.

故答案为:B>D>E>C>A.

23.推理判断题七年级五个班的班长因为参加校学生干部培训会而没有观看年级的乒乓球比

赛.年级组长让他们每人猜一猜其中两个班的比赛名次.这五个班长各自猜测的结果如

表所示:

一班名次 二班名次 三班名次 四班名次 五班名次

一班班长猜

3

5

二班班长猜

1

4

三班班长猜

5

4

四班班长猜

2

1

五班班长猜

3

4

正确结果

年级组长说,每班的名次都至少被他们中的一人说对了,请你根据以上信息将一班~五 班的正确名次填写在表中最后一行. 【解答】解:∵每班的名次都至少被他们中的一人说对了, ∴五班名次一定是第 4, ∴四班名次为第 5, 进而可知三班名次为第 1, 一班名次为第 3, 二班名次为第 2.
一班名次 二班名次 三班名次 四班名次 五班名次

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正确结果

3

2

1

5

4

24.阅读下列材料,并解答以下问题.

完成一件事有 k 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 个不同的方法,在第二类方案中有 m2 个不同的方法,…,在第 k 类方案中有 mk 个不同的方法,那么,完成这件事共有 N =m1+m2+…+mk 种不同方法,这是分类加法计数原理.完成一件事有需要分成 k 个步骤, 做第一步有 m1 种不同方法,做第二步有 m2 种不同方法,…,做第 k 步有 mk 种不同方法, 那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mk 种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. (1)若完成沿图所示的街道从 A 点出发向 B 点行进这件事(规定:必须向北或向东走),

会有 35 种不同的走法.

(2)若完成沿图所示的街道从 A 点出发向 B 点行进,并禁止通过交叉点 C 这件事(规

定:必须向北或向东走),有 17 种不同的走法.

【解答】解:(1)∵完成从 A 点到 B 点必须向北走,或向东走, ∴到达 A 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数 字之和, 故使用分类加法计数原理,由此算出从 A 点到达其余各交叉点的走法数,填表如图 1. 答:从 A 点到 B 点的走法共有 35 种. 故答案为:35;
(2)可先求从 A 点到 B 点,并经过交叉点 C 的走法数,再用从 A 点到 B 点总走法数减 去它,即得从 A 点到 B 点,但不经过交叉点 C 的走法数. 完成从 A 点出发经 C 点到 B 点这件事可分两步,先从 A 点到 C 点,再从 C 点到 B 点, 使用分类加法计数原理,算出从 A 点到 C 点的走法是 3 种,见图 2;算出从 C 点到 B 点 的走法为 6 种, 见图 3,再运用分步乘法计数原理,得到从 A 点经 C 点到 B 点的走法有 3×6=18 种.
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故从 A 点到 B 点但不经过 C 点的走法数为 35﹣18=17 种. 故答案为:17.

25.有 12 名游客要赶往离住地 40 千米的一个火车站去乘火车,离开车时间只有 3 小时了, 他们步行的速度为每小时 6 千米,靠走路是来不及了,唯一可以利用的交通工具只有一 辆小汽车,但这辆小汽车连司机在内最多能乘 5 人,汽车的速度为每小时 60 千米. (1)甲游客说:我们肯定赶不上火车;(2)乙游客说:只要我们肯吃苦,一定能赶上火 车;(3)丙游客说:赶上或赶不上火车,关键取决于我们自己. 亲爱的同学,当你身处其境,一定也有自己的想法,请你就某位游客的说法,用数学知 识以理其人,由于难度不同,请你慎重选择. 选择(1)答对只能给 3 分,选择(2)答对可以给 4 分,选择(3)答对我们奖赏你满分 6 分. 【解答】解:(1):用汽车来回送这 12 名旅客要分 3 趟,总路程为(3×2﹣1)×40=200 千米,所需的时间为 200÷60= 小时>3 小时,因此单靠汽车来回送旅客无法让 12 名

旅客全部赶上火车. (2):汽车送前一趟旅客的同时,让其他旅客先步行,这样可以节省一点时间. 第一趟,设汽车来回共用了 x 小时,这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回,所以 6x+60x=40×2,解得 x= 小时,此时,剩下 8 名旅客与车站的距离为 40﹣ ×6=

千米; 第二趟,设汽车来回共用了 y 小时,那么 6y+60y=

×2,解 y=

小时,此时剩下

的 4 名旅客与车站的距离为 ﹣ ×6=

千米;

第 19 页(共 20 页)

第三趟,汽车用了

÷60= 小时.

所以共需时间 + + ≈2.6(小时),所以可以赶上.
(3):先让汽车把 4 名旅客送到中途某处,再让这 4 名步行(此时其他 8 名旅客也在步 行),接着汽车回来再送 4 名旅客(剩下 4 名旅客继续步行),追上前面 4 名旅客候也让 他们下车一起步行,最后回来接剩下的 4 名旅客到火车站.适当选取第一批旅客的下车 地点使送最后一批旅客的汽车与前面 8 名旅客同时到达火车站. 设汽车送第一批旅客行驶 x 千米后让他们下车步行,此时其他旅客步行了 4× = ,

6× = 千米,他们之间相差了 千米,在以后的时间里,由于步行旅客的速度一

样,所以两批步行旅客之间始终相差 x 千米,而汽车要在这段距离间来回行驶两趟,

每来回一趟所用时间为

+

= x,而汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批

旅客步行 40﹣x 千米所用时间,即 2× x=



解得 x= 千米,故所需时间为 ÷60+
声明:试题解析著 作权属菁优网 所有,未经书 面同意,不得 复制发布 日期:2019/5/9 1 5:43:19; 用户:李秀芬 ;邮箱:13824 589108;学号 :25487770

≈2.267 小时,所以可以赶上.

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